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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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\begin{align}
E(X) &= \int_0^{\infty} xf_X(x) \delt x\\
&= \int_0^5 x f_X(x) \delt x + \int_5^{\infty} x f_X(x) \delt x
\end{align}

ここで、

\begin{align}
\int_0^5 x f_X(x) \delt x &\ge \int_0^5 0\cdot f_X(x) \delt x = 0\\
\int_5^{\infty} x f_X(x) \delt x &\ge \int_5^{\infty} 5\cdot f_X(x) \delt x = 5 P(X\ge 5) = 5\times 0.2 = 1
\end{align}

となるから、

\begin{align}
E(X) \ge 1
\end{align}

となる。