はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.5.3
カイ二乗検定
テキスト(7.5.1)(i)より各レンジの出現確率が予想通りであるという帰無仮説$H_0$と,そうではないという対立仮説$H_1$に関する検定を行う.
帰無仮説$H_0$が正しいとすると, 標準正規分布に従う確率変数$Z$の各範囲に入る確率は統計表より
\begin{align}
&P(Z < -2 ) = 1-0.977250 = 0.02275 (= p_1 \text{とおく})\\ &P(-2 < Z < -1 ) = 0.977250-0.841345 = 0.135905(=p_2 \text{とおく})\\ &P(-1 < Z < 0 ) = 0.841345 - 0.5= 0.341345(= p_3 \text{とおく})\\ &P(0 < Z < 1) = p_3\\ &P(1 < Z < 2) = p_2\\ &P(2 < Z) = p_1 \end{align}
となる.
従って期待度数は,
&P(Z < -2 ) = 1-0.977250 = 0.02275 (= p_1 \text{とおく})\\ &P(-2 < Z < -1 ) = 0.977250-0.841345 = 0.135905(=p_2 \text{とおく})\\ &P(-1 < Z < 0 ) = 0.841345 - 0.5= 0.341345(= p_3 \text{とおく})\\ &P(0 < Z < 1) = p_3\\ &P(1 < Z < 2) = p_2\\ &P(2 < Z) = p_1 \end{align}
\begin{align}
&E_1 = 400\times P(Z < -2) = 400\times p_1 = 9.1\\
&E_2 = 400\times P(-2 < Z < -1) = 400\times p_2 = 54.362\\
&E_3 = 400\times P(-1 < Z < 0) = 400\times p_3 = 136.538\\
&E_4 = 400\times P(0 < Z < 1) = 400\times p_3 = 136.538\\
&E_5 = 400\times P(1 < Z < 2) = 400\times p_2 = 54.362\\
&E_6 = 400\times P(2 < Z) = 400\times p_1 = 9.1
\end{align}
となる.これを用いて$Q(\bm{X})$を計算すると,$Q(\bm{X}) = 29.73$となる.
また統計表より
\begin{align}
\chi^2_{5,0.005} = 16.750
\end{align}
であるから,水準$0.005$の検定であっても$H_0$は棄却される.すなわち有意確率$p$は
\begin{align}
p < 0.005
\end{align}
である.
尤度比検定
テキスト(7.5.2)より
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 2\sum_{i=1}^k \log X_i \frac{X_i}{np_{0i}}
\end{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 2\sum_{i=1}^k \log X_i \frac{X_i}{np_{0i}}
\end{align}
が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$k-1$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 27.64
\end{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 27.64
\end{align}
である(計算はエクセルによる).従って尤度比検定を用いた場合でも有意確率$p$は,
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.
p < 0.005 \end{align}