ex6.2.7 一様分布の上限の不偏推定量とUMVUE

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.7

定義通りに期待値を計算する.

\begin{align}
E(2\overline{X}) &= E\left(\frac{2}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)\lnl
&= \frac{2}{n}\cdot n E(X_i)\lnl
&= \frac{2}{n}\cdot n\cdot \frac{\theta}{2}\lnl
&= \theta
\end{align}

であるから示された.

次に,$T$が完備十分統計量であることを示す.$T$の確率密度関数は, テキスト(4.3.3)より,

\begin{align}
f(t) = \frac{nt^{n-1}}{\theta^n}
\end{align}

となる.従って,
\begin{align}
E\big[r(T)\big] &= \int_0^\theta r(t) f(t) \delt t \lnl
&=\int_0^\theta r(t)\frac{nt^{n-1}}{\theta^n} \delt t = 0\lnl
\Longleftrightarrow & \int_0^\theta r(t) t^{n-1} \delt t = 0
\end{align}

これがどんな$\theta$に対しても成り立つためには$r(t)=0$となる必要がある.$T$は完備十分統計量であることが示された.

よって,$T$の関数で$\theta$の不偏推定量であるものがUMVUEとなる.実際,

\begin{align}
E\left(\frac{n+1}{n}T\right)&= \frac{n+1}{n} \int_0^\theta t\cdot \frac{nt^{n-1}}{\theta^n } \delt t\lnl
&= \frac{n+1}{\theta^n} \int_0^\theta t^n \delt t\lnl
&= \frac{n+1}{\theta^n}\left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^\theta\lnl
&= \theta
\end{align}

となるから,$\cfrac{n+1}{n}T$が$\theta$のUMVUEである.