ex7.A.10 独立性の検定（その2）

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.A.10

男女の答比率が等しいと仮定したときの期待度数を求める.
期待度数は求めたい位置の所属する行の合計を$A$, 列の合計を$B$としたとき,

\begin{align}
\frac{A\times B }{180}
\end{align}

で求められるから,

$
\begin{array}{|c||*{3}{c|}|c|} \hline
\text{}&\text{賛成}&\text{反対}&\text{どちらでもない}&\text{計} \\\hline
\text{男}&29.44&33.33&37.22&100 \\\hline
\text{女}&23.56&26.67&29.78&80 \\\hline
\end{array}
$

となる.これを用いて$Q(\bm{X})$を計算すると,

\begin{align}
Q(\bm{X}) &= \frac{(25-29.44)^2}{29.44} + \frac{(35-33.33)^2}{33.33} + \cdots + \frac{(27-29.78)^2}{29.78} \lnl
&\fallingdotseq 2.162
\end{align}

$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,$(3-1)\cdot(2-1) = 2$である. 統計表より,
\begin{align}
\chi^2_{2,0.4} = 1.8326 , \quad \chi^2_{2,0.3} = 2.4080
\end{align}

であるから, 有意確率$p$は,
\begin{align}
0.3 < p < 0.4 \end{align}
である. 尤度比検定を行った場合は,
\begin{align} -2\log \lambda(\bm{X}) &= 2\left(25\log \frac{25}{29.44} + 35\log\frac{35}{33.33} + \cdots + 27\log\frac{27}{29.78} \right)\lnl &\fallingdotseq 2.154 \end{align}
である. 有意確率$p$は,
\begin{align} 0.3 < p < 0.4 \end{align}
である.