ex1.4.3 独立と排反の関係

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.4.3

(i)

\begin{align} P(A\cap B) = P(A) P(B) > 0 (\because P(A) >0 , P(B) >0)\end{align}

従って、
\begin{align} A\cap B \not = \phi\end{align}

よって$A$と$B$は排反ではない。

(ii)
$A\cap B = \phi$ であるので、

\begin{align}P(A\cap B) = P(\phi) = 0\end{align}

一方、
\begin{align}P(A)P(B) > 0\end{align}

であるので、
\begin{align}P(A\cap B) \not = P(A)P(B)\end{align}

すなわち$A$と$B$は独立ではない。