ex1.2.2 積事象の最小・最大値

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.2.2

\begin{align*}
\begin{cases}
A\cap B &\subset B \\
A\cap B &\subset A
\end{cases}
\end{align*}

であるので、
\begin{align*}
&\begin{cases}
P(A\cap B) \le P(A)=0.7\\
P(A\cap B) \le P(B) = 0.5\
\end{cases}\\
&\Rightarrow P(A \cap B ) \le 0.5
\end{align*}

これより、
\begin{align*}
&P(A\cap B) = P(A) + P(B) – P(A\cup B) = 1.2 – P(A \cup B) \ge 1.2 – 1 = 0.2\\
&(\because P(A) + P(B) > 1 のため、 P(A\cup B) = 1となるA, Bが存在する(証明略))
\end{align*}

よって示された。