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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.2.3

$ F_Y(a-0)$を、

\begin{align}
F_Y(a – 0 ) = \lim_{ h > 0 , h \rightarrow 0 } F_Y(a – h)
\end{align}

を表すものとする。
与えられた分布関数から、

\begin{align}
f_Y(-1 ) &= F_Y(-1) – F_Y(-1 -0) \lnl
&= \frac{1}{3} – 0 \lnl
&= \frac{1}{3}\lnl
f_Y(2 ) &= F_Y(2) – F_Y(2-0) \lnl
&= \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \lnl
&= \frac{1}{6}\lnl
f_Y(8 ) &= F_Y(8) – F_Y(8-0) \lnl
&= 1 – \frac{1}{2} \lnl
&= \frac{1}{2}
\end{align}

従って、確率関数は次のようになる。

\begin{align}
f_Y( y) =\begin{cases} \cfrac{1}{3}&y=-1\lnl
\cfrac{1}{6}& y = 2\lnl
\cfrac{1}{2} & y=8\lnl
0 & y\ne -1,2,8\end{cases}
\end{align}