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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.3.7

(i)
$ x+y \le 1 \Rightarrow x \le 1 -y$であるから、

\begin{align}
f_Y(y) &= \int_0^{1-y} 24xy \delt x\lnl
&= 12(1-y)^2 y
\end{align}

$ (x,y)$が$0 \le x , 0 \le y , x+y\le 1$を満たすとき、

\begin{align}
f_{X|Y}(x|y) &= \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} \lnl
&= \frac{2x}{(1-y)^2}
\end{align}

その他のとき、

\begin{align}
f_{X|Y}(x|y) &= 0
\end{align}

また

\begin{align}
P(X > 1/2 | Y=1/4) &= \int_{1/2}^{1-1/4} \frac{2x}{(1 – 1/4)^2} \delt x\lnl
&= \frac{5}{9}
\end{align}

(ii)
$ (x,y)$が$0 \le x , 0 \le y , x+y\le 1$を満たすとき、

\begin{align}
f_X(x) &= \int_0^{1-x} 24xy \delt x \lnl
&= 12(1-x)^2 x
\end{align}

$ f_X(x) \ne f_{X|Y}(x|y)$であるため、独立ではない。