3.2.いろいろな確率の計算

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

本ページで学ぶこと

本ページでは, 標本空間$\Omega$, 事象$A,B$などに対して,

  • 事象の和の確率:$P(A\cup B)$が$P(A) + P(B) – P(A\cap B)$であること
  • 事象の積の確率:$P(A\cap B)$が$P(A) + P(B) – P(A\cup B)$であること
  • 標本空間の確率:$P(\Omega)$が$1$であり, 空事象の確率:$P(\phi)$が$0$であること
  • 排反事象の確率:$P(A \cup B)$が$P(A)+P(B)$であること
  • 余事象の確率:$P(A^{\mathrm{c}})$が$1-P(A)$であること
  • $A\subseteq B$の事象の確率:$P(A) ,P(B)$が$P(A) \le P(B)$であること
    • を言葉の定義などをしながら学びます.
      本ページでは,確率$P(A)$を同様に確からしい根元事象のもと,$P(A) = \cfrac{n(A)}{n(\Omega)}$で定義されるものとして説明します.今後同様に確かではない事象に対しても確率を定義することになるのですが,その際にも本ページの結果は成り立ちます.

      事象の和の確率

      1セットのトランプ(ジョーカー除く)があるとします.その中から1枚選ぶ場合に標本空間を$\Omega$とし, 次の事象$A$の確率を求めたいとします.

      $A$: マークがスペード または 絵柄(J,Q,K)

      まずは,素朴に数え上げで解きたいと思います.
      根元事象を$4\text{♠}$のように数字とマークを合わせて記載することにすると,

      \begin{align}
      A &= \{ A\text{♠} , 2\text{♠} , 3\text{♠} , 4\text{♠} , 5\text{♠} , 6\text{♠} , 7\text{♠} , 8\text{♠} , 9\text{♠} , 10\text{♠} \\
      &\qquad J\text{♠} , Q\text{♠} , K\text{♠} , J\text{♡} , Q\text{♡} , K\text{♡} , \\
      &\qquad J\text{♦} , Q\text{♦} , K\text{♦} , J\text{♧} ,Q\text{♧} , K\text{♧} \}
      \end{align}

      ですので,
      \begin{align}
      P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{11}{26}
      \end{align}

      となります.

      さて, 事象$A$は集合としてみたとき,「マークがスペード」と「絵柄」の各集合の和集合になっています.そこで事象$B$を「マークがスペード」 , 事象$C$を「絵柄」とすると,事象$A$は,

      \begin{align}
      A = B \cup C
      \end{align}

      と表せます.ここで,集合$X$の元の個数を$n(X)$と表すと
      \begin{align}
      n(B \cup C) = n(B) + n(C) – n(B\cap C)
      \end{align}

      が成り立ちますので,
      \begin{align}
      P(A) &= \frac{n(B) + n(C) – n(B\cap C)}{n(\Omega)}\lnl
      &= \frac{n(B)}{n(\Omega)} + \frac{n(C)}{n(\Omega)} – \frac{n(B\cap C)}{n(\Omega)}\lnl
      &= P(B) + P(C) – P(B\cap C)
      \end{align}

      となります.
      具体的に,
      \begin{align}
      B &= \{ A\text{♠} , 2\text{♠} , 3\text{♠} , 4\text{♠} , 5\text{♠} , 6\text{♠} , 7\text{♠} , 8\text{♠} , 9\text{♠} , 10\text{♠} ,\\
      &\qquad J\text{♠} , Q\text{♠} , K\text{♠} \}\lnl
      C &= \{ J\text{♠} , Q\text{♠} , K\text{♠} , J\text{♡} , Q\text{♡} , K\text{♡} , \\
      &\qquad J\text{♦} , Q\text{♦} , K\text{♦} , J\text{♧} , Q\text{♧} , K\text{♧} \}\lnl
      B\cap C &= \{ J\text{♠} , Q\text{♠} , K\text{♠} \}
      \end{align}

      となりますので,
      \begin{align}
      P(B) &= \frac{13}{52}, \quad
      P(C) = \frac{12}{52}, \quad
      P(B\cap C) = \frac{3}{52}\Lnl
      \Rightarrow P(A) &= P(B) + P(C) – P(B \cap C) = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}
      \end{align}

      と求められます.

      3つ以上の事象の和事象

      3つの事象の場合,

      \begin{align}
      P(A\cup B \cup C) & = P(A) + P(B) + P(C) \\
      &\qquad – P(A\cap B) – P(B \cap C) – P(C \cap A)\\
      &\qquad + P(A \cap B \cap C)
      \end{align}

      が成り立ちます.

      また,次の定理を一般加法定理といいます.
      $n$個の事象$A_1,A_2,\cdots,A_n$に対して,

      \begin{align}
      p_r = \sum_{i_1 < \cdots < i_r} P\left(\bigcap_{k=1}^r A_{i_k}\right) , r=1,2,\cdots,n \end{align}
      とおけば,
      \begin{align} P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = \sum_{r=1}^n (-1)^{r-1}p_r \end{align}
      となる. この式は表記は難しいですが, 集合の元の数を漏れなくダブりなく数えあげるための考えかたを提示しています.

      事象の積の確率

      使いどころがあまりないですが,

      \begin{align}
      A = B\cap C
      \end{align}

      である場合には,
      \begin{align}
      P(A) = P(B) + P(C) – P(B\cup C)
      \end{align}

      が成り立ちます.

      標本空間と空事象

      標本空間$\Omega$の確率を計算してみましょう.通常の事象と同様に計算すると,

      \begin{align}
      P(\Omega) = \frac{n(\Omega)}{n(\Omega)}= 1
      \end{align}

      となるため,標本空間$\Omega$の確率は常に$1$です.

      逆に,空集合$\phi$を事象として考えたとき,この事象の確率は, $n(\phi)=0$ですから,

      \begin{align}
      P(\phi) = \frac{n(\phi)}{n(\Omega)}= 0
      \end{align}

      となります.このような事象を空事象(Impossible Event)といいます.

      排反

      事象$A$と事象$B$が集合として互いに素な場合,つまり

      \begin{align}
      A\cap B = \phi
      \end{align}

      となっているとき, 事象$A$と事象$B$は排反(Disjoint Events)であるといいます.
      事象の和の確率よりあきらかに,
      \begin{align}
      P(A\cup B) &= P(A) + P(B) – P(A \cap B)\\
      &= P(A) + P(B) – P(\phi)\\
      &= P(A) + P(B)
      \end{align}

      となります.

      余事象

      事象$A$に対して補集合の関係にある事象$A^{\mathrm{c}}$を考えることができます.この事象を余事象(Complementary Event)といいます.$A \cup A^{\mathrm{c}} = \Omega$であることから,

      \begin{align}
      P&(A \cup A^{\mathrm{c}} ) = P(A) + P(A^{\mathrm{c}}) – P(\phi)\\
      &\Leftrightarrow 1 = P(A) + P(A^{\mathrm{c}} ) – 0\\
      &\Leftrightarrow P(A^{\mathrm{c}} ) = 1 – P(A)
      \end{align}

      つまり,余事象の確率は$1$から元の事象の確率を引けばよいことになります.

      部分集合の関係になっている事象の確率

      2つの事象$A,B$が集合として$A \subseteq B$となっているとします.このとき事象$A$が起これば事象$B$も起こるといいます.

      $n(A) \le n(B)$ですから,

      \begin{align}
      P(A) \le P(B)
      \end{align}

      となります. この性質を確率の単調性といいます.