はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.A.11
$X$を所得、$Y$を成績を表す確率変数とする。
(i)
\begin{align}
E(X) &= 300 \times (0.02 + 0.05 + 0.1 + 0.1) \\
&\qquad +400 \times (0.1+0.03 + 0.05 + 0.1) \\
&\qquad +500 \times (0.2 + 0.13 + 0.02 + 0.1) \\
& = 418
\end{align}
E(X) &= 300 \times (0.02 + 0.05 + 0.1 + 0.1) \\
&\qquad +400 \times (0.1+0.03 + 0.05 + 0.1) \\
&\qquad +500 \times (0.2 + 0.13 + 0.02 + 0.1) \\
& = 418
\end{align}
418万円。
(ii)
\begin{align}
&E(X|Y=A) \\
&\quad= 300 \times P(X=300|Y=A) + 400 \times P(X=400|Y=A) \\
&\qquad + 500 \times P(X=500|Y=A) \\
&\quad= 300 \times \frac{P(X=300,Y=A)}{P(Y=A)} + 400 \times \frac{P(X=400,Y=A)}{P(Y=A)} \\
&\qquad + 500 \times \frac{P(X=500,Y=A)}{P(Y=A)}\\
&\quad= 300 \times \frac{0.02}{0.32} + 400 \times \frac{0.1}{0.32} + 500 \times \frac{0.2}{0.32}\\
&\quad = 456.25
\end{align}
&E(X|Y=A) \\
&\quad= 300 \times P(X=300|Y=A) + 400 \times P(X=400|Y=A) \\
&\qquad + 500 \times P(X=500|Y=A) \\
&\quad= 300 \times \frac{P(X=300,Y=A)}{P(Y=A)} + 400 \times \frac{P(X=400,Y=A)}{P(Y=A)} \\
&\qquad + 500 \times \frac{P(X=500,Y=A)}{P(Y=A)}\\
&\quad= 300 \times \frac{0.02}{0.32} + 400 \times \frac{0.1}{0.32} + 500 \times \frac{0.2}{0.32}\\
&\quad = 456.25
\end{align}
456.25万円。
(iii)
\begin{align}
P(Y=F | X= 500) &= \frac{P(X=500 , Y=F)}{P(X=500)} \\
&= \frac{0.1}{0.45}\\
&= 0.2222\cdots
\end{align}
P(Y=F | X= 500) &= \frac{P(X=500 , Y=F)}{P(X=500)} \\
&= \frac{0.1}{0.45}\\
&= 0.2222\cdots
\end{align}