ex2.B.4

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.B.4

(a)ヘルダーの不等式

まずは次の補題を証明する。
$ a > 0 , b > 0 $に対して、

\begin{align}
\frac{1}{r}a^r + \frac{1}{q}b^q \ge ab
\end{align}

(補題の証明)
$ b $を定数とみなして、

\begin{align}
g(a) := \frac{1}{r}a^r + \frac{1}{q}b^q – ab
\end{align}

とし、$ g(a) $を最小とする$ a $を求める。
$ g(a) $は下に凸だから、$ g'(a) = 0 $を満たす$ a $を求めればよい、すなわち、

\begin{align}
a = b^{\frac{1}{r-1}}
\end{align}

よって、

\begin{align}
g(a) \ge g(b^{\frac{1}{r-1}}) &= \frac{1}{r} b^{\frac{r}{r-1}} + \frac{1}{q}b^q – b^{\frac{1}{r-1}} \cdot b\\
&= \frac{1}{r} b^q + \frac{1}{q} b^q – b^q = 0
\end{align}

証明終わり。

(ヘルダーの不等式の証明)
$ E(|X|) = 0 $または $ E(|Y|) = 0 $の場合、$ E(|XY|) = 0 $となるので成立。
以下、$ E(|X|) > 0 , E(|Y|) > 0 $として考える。

\begin{align}
a = \frac{|X|}{E(|X|^r)^{\frac{1}{r}}}\\
b = \frac{|Y|}{E(|Y|^q)^{\frac{1}{q}}}
\end{align}

とすれば、$a > 0 , b> 0$だから上記の補題より、

\begin{align}
\frac{1}{r} \frac{|X|^p}{E(|X|^r)} + \frac{1}{q} \frac{|Y|^q}{E(|Y|^q)} \ge \frac{|XY|}{E(|X|^r)^{\frac{1}{r}}E(|Y|^q)^{\frac{1}{q}}}
\end{align}

両辺の期待値をとると、

\begin{align}
(\text{左辺}) &= \frac{1}{r} \frac{E(|X|^r)}{E(|X|^r)} + \frac{1}{q} \frac{E(|Y|^q)}{E(|Y|^q)} = \frac{1}{r} + \frac{1}{q} = 1\\
(\text{右辺}) &= \frac{E(|XY|)}{E(|X|^r)^{\frac{1}{r}}E(|Y|^q)^{\frac{1}{q}}}
\end{align}

よって、右辺の分母を払えば証明すべき式となる。

(b)ミンコフスキーの不等式

$ r=1 $の時は期待値の定義と $ |X+Y| \le |X| + |Y| $より直ちに導かれる。
$ E(|X+Y|) = 0 $の場合も明らかに成立。
よって、以下では$ r > 1 , E(|X+Y|) > 0 $として考える。

\begin{align}
E(|X+Y|^r ) &= \iint_{R^2} |X+Y|^r f(x,y) \delt x\delt y\lnl
&\le \iint_{R^2}(|X| + |Y|) |X+Y|^{r-1} f(x,y) \delt x\delt y \lnl
&\qquad (\because |X+Y| \le |X|+|Y|)\lnl
&= E(|X||X+Y|^{r-1})+E(|Y||X+Y|^{r-1})\lnl
&\le E(|X|^r)^{\frac{1}{r}} E(|X+Y|^{(r-1)q})^{\frac{1}{q}} + E(|Y|^r)^{\frac{1}{r}} E(|X+Y|^{(r-1)q})^{\frac{1}{q}} \lnl
&\qquad (\because (a))\lnl
&= (E(|X|^r)^{\frac{1}{r}} + E(|Y|^r)^{\frac{1}{r}} )\underline { E(|X+Y|^{ (r-1)q})^{\frac{1}{q}}}
\end{align}

ここで、$ q $は$ \frac{1}{r} + \frac{1}{q}=1 $を満たす数($ r \ne 1 $であるから、存在することは保障される)。
$ (r-1)q = r ,\cfrac{1}{q} = \cfrac{r-1}{r} $に注意して、両辺を下線部で割ると、証明すべき式となる。

(a)リアプノフの不等式

(a)の式で$ Y=1 $とおき、Xを$ X^s $に置き換えると、

\begin{align}
E(|X|^s) \le E(|X|^{sr})^\frac{1}{r}
\end{align}

ここで、$ t = sr $と置くと、$ s < t $となる。 またrは1より大きい任意の数であるからtは$ s < t $を満たす全ての数をとりうる。 $ \cfrac{1}{r} = \cfrac{s}{t} $に注意して、

\begin{align} E(|X|^s) \le E(|X|^{t})^\frac{s}{t} \end{align}
両辺を$ \cfrac{1}{s} $乗することで証明すべき式となる。