ex1.2.12 ポーカーの役が出る確率

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.2.12

トランプを5枚配る場合の数は$_{52}\mathrm{C}_5$あり、同様に確からしい。
(a)
10,11,12,13,1がどの種類でそろうか:4パターン
従って、

\begin{align}\frac{4}{_{52}\mathrm{C}_5}\end{align}

(b)
1~13のどの数字が4枚そろうか:13パターン
残り1枚の選び方:任意 12×4
従って、
\begin{align}\frac{13\cdot 12 \cdot 4}{_{52}\mathrm{C}_5}\end{align}

(c)
3枚そろう数字を1~13から選び、マークは4種類のうち3種類選ぶ:$13\cdot _4{\mathrm{C}}_3$パターン
残りの数字で2枚そろう数字を選び、マークは4種類のうち2種類選ぶ:$12\cdot _4{\mathrm{C}}_2$
従って、
\begin{align}\frac{13\cdot 12 \cdot 4 \cdot 6}{_{52}\mathrm{C}_5}\end{align}

(d)
5枚が順番になっている場合、はじまりの数字は1~9のいずれかとなる:9パターン
5枚のマークはバラバラでよい:$4^5$
従って、
\begin{align}\frac{9\cdot 4^5}{_{52}\mathrm{C}_5}\end{align}

(e)
3枚そろう数字を1~13から選び、マークは4種類のうち3種類選ぶ:$13\cdot _4{\mathrm{C}}_3$パターン
残りの数字から2つの数字を選ぶ。マークはいずれでもよい:$_{12}\mathrm{C}_2 \cdot 4^2$
従って、
\begin{align}\frac{13\cdot _{12}\mathrm{C}_2 \cdot 4^3}{_{52}\mathrm{C}_5}\end{align}

(f)
ペアとなる数字を2つ選び、マークはそれぞれ4種類のうち2種類選ぶ:$_{13}\mathrm{C}_{2} \cdot _4{\mathrm{C}}_2 \cdot _4{\mathrm{C}}_2$
もう1枚は残りの数字・4種類のマークから任意に選ぶ:$11\cdot 4$
従って、
\begin{align}\frac{_{13}\mathrm{C}_{2} \cdot _4{\mathrm{C}}_2 \cdot _4{\mathrm{C}}_2 \cdot 11\cdot 4 }{_{52}\mathrm{C}_5}\end{align}

(g)
ペアとなる数字を1つ選び、マークは4種類のうち2種類選ぶ:$13 \cdot _4{\mathrm{C}}_2$
残りの数字を3つ選ぶ。マークは任意:$_{12}\mathrm{C}_3 \cdot 4^3$
従って、
\begin{align}\frac{13 \cdot _4{\mathrm{C}}_2 \cdot _{12}{\mathrm{C}}_3 \cdot 4^3 }{_{52}\mathrm{C}_5}\end{align}