ex4.B.1 標本数が変わったときの標本平均・標本分散の計算

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.B.1

$\newcommand{\bx}{\overline{X}}$

\begin{align}
\bx_j + \frac{X_{j+1} – \bx_j}{j+1} &= \frac{X_{j+1}}{j+1} + \bx_j\left(1-\frac{1}{j+1}\right)\lnl
&= \frac{X_{j+1}}{j+1} + \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \frac{j}{j+1}\lnl
&= \frac{1}{j+1}\left(X_{j+1} + \sum_{i=1}^j X_i \right)\lnl
&= \bx_{j+1}
\end{align}

$A = \bx_{j+1} – X_{j+1}$とおくと,上記から

\begin{align}
&\bx_j = \bx_{j+1} + \frac{1}{j}(\bx_{j+1} – X_{j+1}) = \frac{A}{j}\\
\Leftrightarrow & j(\bx_j- \bx_{j+1}) =A
\end{align}

となる.
\begin{align}
\frac{{S_j}^2}{\left(1+\cfrac{1}{j}\right)} = \sum_{i=1}^j \frac{(X_i – \bx_j)^2}{j+1}
\end{align}

であり,各項は
\begin{align}
\frac{(X_i – \bx_j)^2}{j+1} &= \frac{1}{j+1}\left((X_i – \bx_{j+1}) – \frac{1}{j}(\bx_{j+1} – X_{j+1})\right)^2 \lnl
&= \frac{(X_i – \bx_{j+1})^2}{j+1} – \frac{2A(X_i – \bx_{j+1})}{j(j+1)} + \frac{A^2}{j^2(j+1)}
\end{align}

となるので,
\begin{align}
\sum_{i=1}^j \frac{(X_i – \bx_j)^2}{j+1} &=\sum_{i=1}^j \frac{(X_i – \bx_{j+1})^2}{j+1} – \frac{2A(j\bx_j – j\bx_{j+1})}{j(j+1)} + \frac{A^2}{j(j+1)}\lnl
&={S_{j+1}}^2 – \frac{A^2}{j+1} – \frac{2A^2}{j+1} + \frac{A^2}{j(j+1)}\lnl
&={S_{j+1}}^2 + A^2\left(\frac{-1}{j+1} + \frac{-1}{j(j+1)}\right)\lnl
&= {S_{j+1}}^2 -\frac{ A^2}{j}
\end{align}

また,
\begin{align}
j(\bx_j- \bx_{j+1})^2 = \frac{A^2}{j}
\end{align}

なので,
\begin{align}
\frac{{S_j}^2}{\left(1+\cfrac{1}{j}\right)} + j(\bx_j- \bx_{j+1})^2 = {S_{j+1}}^2
\end{align}

となる.