ex4.3.1 順序統計量の確率密度関数と期待値・分散

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.3.1

確率変数$X$の分布関数を$F_X(x)$とし,順序統計量$X_{(k)}$の分布関数と確率密度関数を$F_{(k)}(x) , f_{(k)}(x)$とする.

与えられた確率密度関数から,

\begin{align}
F_X(x) = \begin{cases}1 & x\ge 1\lnl
x^2 &0 < x < 1\lnl 0 & x\le 0\end{cases} \end{align}
となる.

(i)テキストp172の(4.3.3)より,

\begin{align}
f_{(n)} &= n\big[F_X(x)\big]^{n-1}f_X(x)
\end{align}

である.$n=4$と$F_X , f_X$の定義から,
\begin{align}
f_{(n)} =\begin{cases}8x^7 &0 < x < 1\lnl 0&\text{その他}\end{cases} \end{align}

(ii)テキストp172の(4.3.4)より,

\begin{align}
f_{(1)} &= n\big[1 – F_X(x)\big]^{n-1}f_X(x)
\end{align}

である.$n=4$と$F_X , f_X$の定義から,
\begin{align}
f_{(1)} =\begin{cases}8x(1 – x^2)^3 &0 < x < 1\lnl 0&\text{その他}\end{cases} \end{align}
テキストの答えだと$n=4$を代入せずに書いてしまっていますね.

(iii)テキストp172の(4.3.5)より,

\begin{align}
f_{(r)} &= nf_X(x)\binom{n-1}{r-1}\big[F_X(x)\big]^{r-1}\big[1-F_X(x)\big]^{n-r}
\end{align}

である.$n=4 , r=3$と$F_X , f_X$の定義から,$0 < x < 1$のとき,
\begin{align} f_{(3)} &= 4\cdot 2x \binom{3}{2}\big[x^2\big]^{2}\big[1-x^2\big]^{1}\lnl &= 24x^5 (1-x^2) \end{align}
よって,
\begin{align} f_{(3)} = \begin{cases}24x^5 (1-x^2) &0 < x < 1\lnl 0&\text{その他}\end{cases} \end{align}

(iv)
『$E(X_{(\color{red}{4})}) , V(X_{(\color{red}{4})})$を求めよ』の誤植かと思われます.その前提で解くと,

\begin{align}
E(X_{(4)}) &= \int_0^1 x\cdot f_{(4)}(x) \delt x\lnl
&= \int_0^1 8 x^8 \delt x\lnl
&= \left[ \frac{8}{9} x^9 \right]_0^1\lnl
&= \frac{8}{9}
\end{align}

分散は$E({X_{(4)}}^2) – E(X_{(4)})^2$を使って求める.

\begin{align}
E({X_{(4)}}^2) &= \int_0^1 x^2 \cdot f_{(4)}(x) \delt x\lnl
&= \int_0^1 8 x^9 \delt x\lnl
&= \left[ \frac{8}{10} x^{10} \right]_0^1\lnl
&= \frac{4}{5}
\end{align}

よって,
\begin{align}
V({X_{(4)}}) &= E({X_{(4)}}^2) – E(X_{(4)})^2 = \frac{4}{405}
\end{align}