ex4.4.1 正規分布の標本平均の確率

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.4.1

正規分布の再生性から, $\overline{X}$は$\mathrm{N}\left(5,\left(2/3\right)^2\right)$に従う.
$Z$を標準正規分布に従う確率変数とすると,

\begin{align}
(a)\quad P(\overline(X) < 5) &= P\left(\frac{\overline{X}- 5}{2/3} < 0\right) \lnl &= P(Z < 0 )\lnl &= \frac{1}{2}\Lnl (b)\quad P(\overline(X) > 6) &= P\left(\frac{\overline{X}- 5}{2/3} > \frac{3}{2}\right) \lnl
&=P\left(Z > \frac{3}{2}\right)\lnl
&=0.066807\Lnl
(c)\quad P(|\overline(X) -5 | < 1) &= P\left(\left|\frac{\overline{X}- 5}{2/3}\right| < \frac{3}{2}\right) \lnl &=P\left(|Z| < \frac{3}{2}\right)\lnl &=1 - P\left(Z < -\frac{3}{2}\right) + P\left(Z > \frac{3}{2}\right) \lnl
&=0.866386
\end{align}

となる.(数値はテキスト巻末の標準正規分布表T.1より)

\begin{align}
(d)\quad P(\overline(X) < c) &= P\left(\frac{\overline{X}- 5}{2/3} <\frac{3}{2} (c-5)\right) \lnl &= P\left(Z < \frac{3}{2}(c-5) \right) \end{align}
これが$0.95$に等しいことから,
\begin{align} 1.645 &= \frac{3}{2}(c-5) \end{align}
よって, $c = 6.097$となる.
\begin{align} (e)\quad P(|\overline(X) - 5| \ge c) &= P\left(\left|\frac{\overline{X}- 5}{2/3}\right| \ge \frac{3}{2} c\right) \lnl &= P\left(|Z| \ge \frac{3}{2}c \right) \end{align}
これが$0.01$に等しいことから,
\begin{align} 2.58 &= \frac{3}{2}c \end{align}
よって, $c = 1.72$となる.