ex1.4.4 組ごとに独立だが、互いに独立でない事例

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.4.4

$P(A) = P(B) = P(C) = 1/2$である。
$A\cap B$: 「取り出した玉は1番」であるので、

\begin{align}P(A\cap B) = 1/4 = P(A) P(B)\end{align}

同様にして、
\begin{align}P(B\cap C) &= P(B)P(C)\\
P(C\cap A) &= P(C) P(A)\end{align}

となる。すなわち組ごとに独立である。
一方、
$A\cap B \cap C$ : 「取り出した玉は1番」であるので、
\begin{align}P(A \cap B \cap C) = 1/4 \ne P(A) P(B) P(C) = 1/8\end{align}

よってA,B,Cは独立ではない。