ex2.5.10

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
$\require{cancel}$

ex2.5.10

(i)
$T=1$となるのは、一番最初の検査で$100$個の製品のうちの$1$個の不良品を検査する場合だから、

\begin{align}
P(T = 1 ) = \frac{1}{100}
\end{align}

$T=2$となるのは、一番最初の検査では不良品ではない製品の検査、$2$回目の検査で残り$99$個の製品のうちの$1$個の不良品を検査する場合だから、

\begin{align}
P(T = 2 ) = \frac{\cancel{99}}{100}\times \frac{1}{\cancel{99}} = \frac{1}{100}
\end{align}

$T=50$となるのも、$T=2$と同様に考えて、

\begin{align}
P(T = 50 ) = \frac{\cancel{99}}{100}\times \frac{\cancel{98}}{\cancel{99}} \times \cdots \times \frac{\cancel{50}}{\cancel{51}}\times\frac{1}{\cancel{50}} = \frac{1}{100}
\end{align}

$P=k$となるものも、同様に考えて($ k = 1,2,3,\cdots,100 $)

\begin{align}
P(T = k) &= \underbrace{ \frac{\cancel{99}}{100} \times \frac{\cancel{98}}{\cancel{99}} \times \cdots \frac{\cancel{100 – i}}{\cancel{101 – i}} \cdots \times \frac{\cancel{100 – (k+1)}}{\cancel{101 – (k+1)}}}_{k – 1} \\
&\qquad \times \frac{1}{\cancel{100 – (k+ 1)}} \\
&= \frac{1}{100}
\end{align}

であるので、期待値は

\begin{align}
E(T) &= \sum_{k=1}^{100} k P(T=k) \\
&= \sum_{k=1}^{100} \frac{k}{100} \\
&= \frac{100\cdot (100+1)}{2\cdot 100}\\
& = 50.5
\end{align}

(ii)
$T=1$となるのは、一番最初の検査で$100$個の製品のうちの$1$個の不良品を検査する場合だから、

\begin{align}
P(T = 1 ) = \frac{1}{100}
\end{align}

$T=2$となるのは、一番最初の検査では不良品ではない製品の検査、$2$回目の検査で$100$個の製品のうちの$1$個の不良品を検査する場合だから、

\begin{align}
P(T = 2 ) = \frac{99}{100}\times \frac{1}{100} = \left(\frac{99}{100}\right)\left(\frac{1}{100}\right)
\end{align}

$T=50$となるのも、$T=2$と同様に考えて、

\begin{align}
P(T = 50 ) &= \underbrace {\frac{99}{100}\times \frac{99}{100} \times \cdots \times \frac{99}{100} }_{49}\frac{1}{100} \\
&= \left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left(\frac{1}{100}\right)
\end{align}

$P=k$となるものも、同様に考えて($ k = 1,2,3,\cdots,100 $)

\begin{align}
P(T = k ) &= \underbrace {\frac{99}{100}\times \frac{99}{100} \times \cdots \times \frac{99}{100} }_{k – 1}\frac{1}{100} \\
&= \left(\frac{99}{100}\right)^{k – 1}\left(\frac{1}{100}\right)
\end{align}

であるので、期待値は

\begin{align}
E(T) &= \sum_{k=1}^{100} k P(T=k) \\
&= \sum_{k=1}^{100} \frac{k}{100}\left(\frac{99}{100}\right)^{k – 1} \\
& = 100
\end{align}