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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.2.2

(a)
(1) $ f_X(x)$がすべての$ x$で$ f_X(x) \ge 0$であること
(2) $ \sum_{x} f_X(x) = 1$であること
を示す。
(1)与えられた条件から明らかに満たす
(2)$ x=-1,0,2,5$以外の場合は0であるから、これらのxに対して$ f_X(x)$の総和を取る。

\begin{align}
\sum_{x} f_X(x) &= f_X(-1) + f_X(0) + f_X(2) + f_X(5)\\
&= 0.25 + 0.4 + 0.25 + 0.1\\
&= 1
\end{align}

分布関数$ F_X$は、

\begin{align}
F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < -1 \lnl 0.25 &-1 \le x < 0 \lnl 0.65 &0 \ge x < 2 \lnl 0.90 &2 \ge x < 5 \lnl 1 & 5 \ge x\end{cases} \end{align}
グラフは次のようになる。

(b)
(a)と同様に(1)と(2)を示す。
(1)与えられた条件から明らかに満たす。
(2)

\begin{align}
\sum_{z} f_Z(z) = f_Z(0) = 1
\end{align}

分布関数$ F_Z$は、

\begin{align}
F_Z(z) = \begin{cases} 0 & z < 0\lnl 1 & 0 \le z\end{cases} \end{align}
グラフは次のようになる。