はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex1.B.5
一般加法定理を次のように表す。
\begin{align}
P\left(\bigcup_i^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le n}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i A_{l_j}\right) \end{align}
$n=2$のとき、
P\left(\bigcup_i^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le n}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i A_{l_j}\right) \end{align}
\begin{align}
P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1\cap A_2)
\end{align}
よって成立。
$n=k$のとき成立すると仮定する。すなわち、
\begin{align}
P\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) = \sum_{i=1}^k \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le k}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i A_{l_j}\right)
\end{align}
が成立。
$n=k+1$のとき、
\begin{align}
P\left(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_i\right) =& P\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_i \cup A_{k+1}\right) \\
=& P\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right) + P(A_{k+1}) - P\left( \left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right)\cap A_{k+1}\right) \\
=& \underline{P\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)} + P(A_{k+1}) - \underline{P\left( \bigcup_{i=1}^k (A_i \cap A_{k+1})\right)}\\
&\text{(※)}\\
=& \sum_{i=1}^k \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le k}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i A_{l_j}\right)+ \\
&\quad P(A_{k+1}) - \sum_{i=1}^k \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le k}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i (A_{l_j} \cap A_{k+1})\right) \\
=& \sum_{i=1}^{k+1} P(A_i) \\
&\quad+ \sum_{i=2}^k \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le k}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i A_{l_j}\right) \\
&\quad- \sum_{i=2}^k\sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_{i-1}\\1\le l_j\le k}} (-1)^{i} P\left(\bigcap_{j=1}^{i-1} (A_{l_j} \cap A_{k+1})\right) \\
&\quad + (-1)^{(k+1)+1} P\left(\bigcap_{j=1}^{k+1}A_j\right) \\
=& \sum_{i=1}^{k+1} P(A_i) + \sum_{i=2}^k \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le k+1}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i A_{l_j}\right) \\
&\quad+ (-1)^{(k+1)+1} P\left(\bigcap_{j=1}^{k+1}A_j\right) \\
=&\sum_{i=1}^{k+1} \sum_{\substack{l_1 < l_2 < \cdots < l_i\\1\le l_j\le k+1}} (-1)^{i+1} P\left(\bigcap_{j=1}^i A_{l_j}\right)
\end{align}
※下線部に$n=k$の時の式を適用する。
$n=k+1$の時も成立。
よって一般加法定理は示された。