はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.6.6
$X$と$Y$は同じ分布に従うから積率母関数は同じである。
計算すると、$ t \ne 0 $のとき
\begin{align}
m_X(t) = m_Y(t) &= E(e^{tX})\lnl
&= \int_0^1 e^{tx} \delt x \lnl
&= \frac{e^t -1}{t}
\end{align}
m_X(t) = m_Y(t) &= E(e^{tX})\lnl
&= \int_0^1 e^{tx} \delt x \lnl
&= \frac{e^t -1}{t}
\end{align}
また、$t = 0$のとき、
\begin{align}
m_X(0) = m_Y(0) = E(1) = 1
\end{align}
m_X(0) = m_Y(0) = E(1) = 1
\end{align}
である。
(1)$V=X+Y$の積率母関数は、
\begin{align}
m_V(t) &= E(e^{t(X+Y)}) \\
&= E(e^{tX})E(e^{tY}) \lnl
&= \begin{cases}\left(\cfrac{e^t -1 }{t}\right)^2 & (t\neq 0)\lnl
1 & (t = 0)\end{cases}
\end{align}
m_V(t) &= E(e^{t(X+Y)}) \\
&= E(e^{tX})E(e^{tY}) \lnl
&= \begin{cases}\left(\cfrac{e^t -1 }{t}\right)^2 & (t\neq 0)\lnl
1 & (t = 0)\end{cases}
\end{align}
(2)$W=X-Y$の積率母関数は、
\begin{align}
m_W(t) &= E(e^{t(X-Y)}) \\
&= E(e^{tX})E(e^{-tY}) \lnl
&=\begin{cases} \cfrac{(e^t -1)(1-e^{-t})}{t^2}& (t\neq 0)\lnl
1 & (t = 0)\end{cases}
\end{align}
m_W(t) &= E(e^{t(X-Y)}) \\
&= E(e^{tX})E(e^{-tY}) \lnl
&=\begin{cases} \cfrac{(e^t -1)(1-e^{-t})}{t^2}& (t\neq 0)\lnl
1 & (t = 0)\end{cases}
\end{align}