はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex1.2.8
この確率密度関数はパラメータ1の指数分布に従う二つの独立な確率変数$X,Y$の同時確率密度関数です。
指数分布については後の章で詳しくでてきます。
(a)
\begin{align}
P(B) &= \int_1^2 \int_0^2 e^{-(x+y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\
&= \left(\int_1^2 e^{-x} \mathrm{d}x \right)\left(\int_0^2 e^{-y} \mathrm{d}y\right) \\
&= (e^{-1} – e^{-2})(1-e^{-2})
\end{align}
P(B) &= \int_1^2 \int_0^2 e^{-(x+y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\
&= \left(\int_1^2 e^{-x} \mathrm{d}x \right)\left(\int_0^2 e^{-y} \mathrm{d}y\right) \\
&= (e^{-1} – e^{-2})(1-e^{-2})
\end{align}
(b)
\begin{align}P(C) = \int_1^3 \int_4^4 e^{-(x+y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = 0\end{align}
(c)
\begin{align}P(D) = \int_1^3 \int_0^\infty e^{-(x+y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = e^{-1}-e^{-3}\end{align}
(d) $B\cap D = B$であるので、
\begin{align}P(B\cap D) = (e^{-1} – e^{-2})(1-e^{-2}) \end{align}
(e)
\begin{align}P(B^c) = 1-P(B) = 1- (e^{-1} – e^{-2})(1-e^{-2})\end{align}
(f) $B\cup D = D$であるので、
\begin{align} P(B\cup D) = e^{-1} – e^{-3}\end{align}