ex1.2.8 具体的区間を与えられた場合の二変数指数分布の確率

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.2.8

この確率密度関数はパラメータ1の指数分布に従う二つの独立な確率変数$X,Y$の同時確率密度関数です。
指数分布については後の章で詳しくでてきます。
(a)

\begin{align}
P(B) &= \int_1^2 \int_0^2 e^{-(x+y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\
&= \left(\int_1^2 e^{-x} \mathrm{d}x \right)\left(\int_0^2 e^{-y} \mathrm{d}y\right) \\
&= (e^{-1} – e^{-2})(1-e^{-2})
\end{align}

(b)
\begin{align}P(C) = \int_1^3 \int_4^4 e^{-(x+y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = 0\end{align}

(c)
\begin{align}P(D) = \int_1^3 \int_0^\infty e^{-(x+y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = e^{-1}-e^{-3}\end{align}

(d) $B\cap D = B$であるので、
\begin{align}P(B\cap D) = (e^{-1} – e^{-2})(1-e^{-2}) \end{align}

(e)
\begin{align}P(B^c) = 1-P(B) = 1- (e^{-1} – e^{-2})(1-e^{-2})\end{align}

(f) $B\cup D = D$であるので、
\begin{align} P(B\cup D) = e^{-1} – e^{-3}\end{align}