はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex5.A.6
$X_{(n)}$が十分統計量であることはすでに(ex5.2.1)(x)で示したので,完備であることを証明する.
$X_{(n)}$の確率密度関数$f_{(n)}(x)$は
\begin{align}
f_{(n)}(x) = \frac{n x^{n-1}}{\theta^n}
\end{align}
f_{(n)}(x) = \frac{n x^{n-1}}{\theta^n}
\end{align}
となる.(テキスト(4.3.3)を参照)
\begin{align}
E_\theta(r(X_{(n)})) = \int_0^\theta r(x) \cdot \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} \delt x
\end{align}
E_\theta(r(X_{(n)})) = \int_0^\theta r(x) \cdot \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} \delt x
\end{align}
これが全ての$\theta$で$E_\theta(r(X_{(n)}))= 0$となるためには $r(x) = 0$が必要である.従って$X_{(n)}$は$\theta$の完備十分統計量である.