はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.4.6
ガンマ分布$\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$の平均$\mu$と分散$\sigma^2$は,
\begin{align}
&\mu = \frac{\alpha}{\beta}\label{eq-ga-mu} \lnl
&\sigma^2 = \frac{\alpha}{\beta^2}= \frac{1}{\beta}\cdot \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{\beta} \mu
\end{align}
&\mu = \frac{\alpha}{\beta}\label{eq-ga-mu} \lnl
&\sigma^2 = \frac{\alpha}{\beta^2}= \frac{1}{\beta}\cdot \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{\beta} \mu
\end{align}
である.
$\sigma^2$のモーメント法推定量$\hat{\sigma}^2$は
\begin{align}
\hat{\sigma}^2 = M_2 – {M_1}^2 = \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2
\end{align}
\hat{\sigma}^2 = M_2 – {M_1}^2 = \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2
\end{align}
であることに注意すると,
\begin{align}
&\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{\hat{\beta}} \hat{\mu} = \frac{1}{\hat{\beta}} \overline{X} = \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left({X_i}
– \overline{X}\right)^2\lnl
\Longleftrightarrow & \hat{\beta} = \frac{\overline{X}}{\displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2}
\end{align}
&\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{\hat{\beta}} \hat{\mu} = \frac{1}{\hat{\beta}} \overline{X} = \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left({X_i}
– \overline{X}\right)^2\lnl
\Longleftrightarrow & \hat{\beta} = \frac{\overline{X}}{\displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2}
\end{align}
これと$\eqref{eq-ga-mu}$より,
\begin{align}
\hat{\alpha} = \hat{\mu}\hat{\beta} = \overline{X}\hat{\beta} = \frac{\overline{X}^2}{\displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2}
\end{align}
\hat{\alpha} = \hat{\mu}\hat{\beta} = \overline{X}\hat{\beta} = \frac{\overline{X}^2}{\displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2}
\end{align}
となり示された.