ex3.1.10 二項分布の確率関数の漸化式

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.1.10

まず、$ f_Y(0) $は明らかに、

\begin{align}
f_Y(0) = P(Y=0) = \binom{n}{0} p^0 (1-p)^n = (1-p)^n
\end{align}

$ k \ge 1 $となる整数$k$に対して$ f_Y(k) $は、

\begin{align}
f_Y(k) &= P(Y=k) \\
&= \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\
&= \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}\\
&= \frac{n-k+1}{k}\frac{p}{1-p}\\
&\qquad \times \frac{n!}{(k – 1)!(n-( k -1))!} p^{k – 1}(1-p)^{n-( k -1)} \\
&= \frac{n-k+1}{k}\frac{p}{1-p} f_Y( k -1 )
\end{align}

よって示された。