ex6.B.4 幅が1の一様分布の最小値のパラメータの不偏推定量の導出と一様最小分散不偏推定量が存在しないことの証明

はじめに

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ex6.B.4

与えられた式が$\theta$の不偏推定量であることの証明

$g(X_1-p)$の取りうる値を$p$の値により場合分けする.
下図のように,$p$の長さによって$g(X_1-p)$の取りうる値は変わってくる.

緑のように$p$が十分長い場合は$g(X_1-p) = g(\theta)-1 , g(\theta)$となり,青のように$p$が十分短い場合は$g(X_1-p)=g(\theta), g(\theta)+1$となる.

緑のようになる条件は,$X_1$の下限,つまり$\theta$のときに$X_1-p$が$g(\theta)$以下となること,つまり$\theta -p \le g(\theta)$となることである.青のようになる条件は$\theta – p > g(\theta)$となることである.

(i)$\theta -p \le g(\theta)$のとき(緑)

$g(X_1-p) = g(X_1)-1$となる確率を考える.下の図のように,$\theta -p < X_1 -p \le g(\theta)$のとき$g(X_1-p)=g(\theta)-1$となり, $g(\theta) < X_1 – p < \theta+ 1 – p$のとき,$g(X_1-p) = g(\theta)$となる.


$X_1$が幅$1$の一様分布に従うことを考えると,区間の長さが確率そのものとなる.つまり,

\begin{align}
&P\big(g(X_1-p) = g(\theta) – 1\big) = g(\theta) – \theta + p\\
&P\big(g(X_1-p) = g(\theta) \big) = \theta + 1 – p – g(\theta)
\end{align}

である.$g(X_1-p)$の期待値は,$g(\theta)$を単に$g$と表記すると,
\begin{align}
E\big(g(X_1-p)\big) &= (g – 1)\cdot (g – \theta + p) + g\cdot (\theta + 1 – p – g)\\
&= \theta – p
\end{align}

従って,
\begin{align}
E\big[ g(X_1-p) + p \big] = \theta – p + p = \theta
\end{align}

となり, $\theta$の不偏推定量であることがわかる.

(ii)$\theta -p > g(\theta)$のとき(青)

(i)と同様に考えれば,

\begin{align}
&P\big(g(X_1-p) = g(\theta)\big) = g(\theta) – \theta + p+1\\
&P\big(g(X_1-p) = g(\theta)+1 \big) = \theta – p – g(\theta)
\end{align}

であるので,$g(X_1-p)$の期待値は,$g(\theta)$を単に$g$と表記すると,
\begin{align}
E\big(g(X_1-p)\big) &= g\cdot (g – \theta + p+1) + (g+1)\cdot (\theta – p – g)\\
&= \theta – p
\end{align}

となる.従って,
\begin{align}
E\big[ g(X_1-p) + p \big] = \theta – p + p = \theta
\end{align}

となり, このときも$\theta$の不偏推定量であることがわかる.

$\theta$の一様最小分散不偏推定量(UMVUE)が存在しないことの証明

ある$\theta$を固定したとき, $p$をうまく選ぶことで $\theta + 1 – p$を整数とすることができる.この整数を$N=\theta + 1 – p$とする.
$X_1-p$の値域は$(\theta – p , \theta + 1 – p) = (N-1,N)$となるので,$g(X_1-p)=N-1$である.つまり,

\begin{align}
g(X_1-p) + p = N-1 + p = \theta + 1 – p -1 + p = \theta
\end{align}

となるので,$g(X_1-p)+p$は定数$\theta$になる.
従って,この$p$のとき
\begin{align}
V\big[g(X_1-p)+p\big] = V(\theta) = 0
\end{align}

となり分散は$0$となる.ただし,この推定量は$\theta$に依存するためUMVUEではない.($p$は$\theta$に合わせてうまく選んだことに注意)

一方,UMVUEが存在するのであれば, その分散はいかなる$\theta$に対しても$0$でなくてはならない.明らかにそのような推定量は存在しないので, 題意が示された.