はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.2.6
$\alpha$が既知のとき, パラメータ$\alpha , \cfrac{1}{\theta}$のガンマ分布の密度関数は,
\begin{align}
f(x;\theta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\theta^\alpha} x^{\alpha-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right)
\end{align}
f(x;\theta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\theta^\alpha} x^{\alpha-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right)
\end{align}
である.${\theta_2}^2 > {\theta_1}^2$とすると,
\begin{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;{\theta_2})}{\prod_{i=1}^n f(x_i;{\theta_1})} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{n\alpha} \exp\left\{-\left(\frac{1}{\theta_2} – \frac{1}{\theta_1}\right)\sum_{i=1}^n x_i \right\}\end{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;{\theta_2})}{\prod_{i=1}^n f(x_i;{\theta_1})} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{n\alpha} \exp\left\{-\left(\frac{1}{\theta_2} – \frac{1}{\theta_1}\right)\sum_{i=1}^n x_i \right\}\end{align}
となる.これは$T(\bm{X}) = \displaystyle \sum_{i=1}^n {x_i}$に関して単調尤度比をもつ.また, ガンマ分布の再生性より帰無仮説のもと , $T(\bm{X})$はパラメータ$n\alpha , \cfrac{1}{\theta_0}$のガンマ分布に従う.
よって, 水準$\alpha$のUMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.
\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} < k\lnl 0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} \ge k\lnl \end{cases} \end{align}
ただし, $k$は,
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} < k\lnl 0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} \ge k\lnl \end{cases} \end{align}
\begin{align}
\alpha = \int_0^k \frac{1}{\Gamma(n\alpha)}\frac{1}{{\theta_0}^{n\alpha}} x^{n\alpha-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta_0}\right) \delt x
\end{align}
を満たす.