はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.7.2
$ Y= cX $とする。
\begin{align}
P(Y \le t) &= P(cX \le t) \lnl
&=P\left(X \le \frac{t}{c} \right)\lnl
&= \int_0^{\frac{t}{c}} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma( \alpha)} x^{\alpha – 1} e^{-\beta x} \delt x\lnl
&= \int_0^{t} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma( \alpha)} \left(\frac{y}{c}\right)^{\alpha – 1} e^{-\beta \frac{y}{c}}\cdot \frac{1}{c} \delt y\lnl
&= \int_0^{t} \frac{\left(\frac{\beta}{c}\right)^\alpha}{\Gamma( \alpha)} y^{\alpha – 1} e^{-\frac{\beta}{c}y} \delt y
\end{align}
P(Y \le t) &= P(cX \le t) \lnl
&=P\left(X \le \frac{t}{c} \right)\lnl
&= \int_0^{\frac{t}{c}} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma( \alpha)} x^{\alpha – 1} e^{-\beta x} \delt x\lnl
&= \int_0^{t} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma( \alpha)} \left(\frac{y}{c}\right)^{\alpha – 1} e^{-\beta \frac{y}{c}}\cdot \frac{1}{c} \delt y\lnl
&= \int_0^{t} \frac{\left(\frac{\beta}{c}\right)^\alpha}{\Gamma( \alpha)} y^{\alpha – 1} e^{-\frac{\beta}{c}y} \delt y
\end{align}
よって、$Y$はパラメータ$ \alpha , \cfrac{\beta}{c} $に従うガンマ分布。