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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases}1&(0 < x < 1)\\ 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
である。
\begin{align} &-2\log x \le y \\ \Leftrightarrow & x \ge \exp\left(-\frac{y}{2}\right) \end{align}
に注意すると、分布関数$F_Y(y)$は
\begin{align} F_Y(y) &= P(Y \le y)\lnl &=P(-2 \log X \le y)\lnl &=P\left(X \ge \exp\left(-\frac{y}{2}\right)\right)\lnl &=1-P\left(X < \exp\left(-\frac{y}{2}\right)\right)\lnl &=1-\int_0^{\exp(-y/2)} dx\lnl &= \begin{cases}1-\exp\left(-\cfrac{y}{2}\right) &(0 \le y)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
確率密度関数$ f_Y(y)$は、
\begin{align} f_Y(y) = F_Y'(y) = \begin{cases}\cfrac{1}{2}\exp\left(-\cfrac{y}{2}\right)& ( 0 \le y)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
となる。