ex7.A.7 適合性の検定

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.A.7

予想通りであった場合のタイプA,B,Cの期待個数はそれぞれ,

\begin{align}
&\text{タイプAの期待個数} = 0.3\times 400 = 120\\
&\text{タイプBの期待個数} = 0.5\times 400 = 200\\
&\text{タイプCの期待個数} = 0.2\times 400 = 80
\end{align}

である.従って$Q(\bm{X})$は,
\begin{align}
Q(\bm{X}) &= \frac{(130-120)^2}{12} + \frac{(180-200)^2}{200} + \frac{(90-80)^2}{80}\lnl
&\fallingdotseq 4.083
\end{align}

である.
$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,$3-1 = 2$である. 統計表より,
\begin{align}
\chi^2_{2,0.2} = 3.2189 , \quad \chi^2_{2,0.1} = 4.6052
\end{align}

であるから, 有意確率$p$は,
\begin{align}
0.1 < p < 0.2 \end{align}
である. 尤度比検定を行った場合は,
\begin{align} -2\log \lambda(\bm{X}) &= 2\left(130\log \frac{130}{120} + 180\log\frac{180}{200} + 90\log\frac{90}{80} \right)\lnl &\fallingdotseq 4.082 \end{align}
であるから, 有意確率$p$は,
\begin{align} 0.1 < p < 0.2 \end{align}
である.