ex1.4.9 サイコロを振って特定の事象が出るまでの確率

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.4.9

1回さいころを振って6が出る確率 $p = 1/6$ , 6以外がでる確率 $q = 1-p = 5/6$
(i)
$k-1$回目まで6以外がでて、$k$回目に6がでる確率だから、

\begin{align}q^{k-1}\times p = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \left(\frac{1}{6}\right)\end{align}

よって示された。

(ii)
$k-1$回目まで6が2回でて、$k$回目に6がでる確率だから、

\begin{align}_{k-1}C_2 p^2 q^{k-1-2} \times p = \binom{k-1}{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{k-3} \left(\frac{1}{6}\right)^3\end{align}

よって示された。