ex6.2.2 指数分布のパラメータのUMVUE

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.2

パラメータ$\beta$の指数分布の確率密度関数$f_X(x)$は,

\begin{align}
f_X(x) &= \beta \exp(-\beta x)\\
&=\exp(-\beta x + \log \beta)
\end{align}

である.ここで,
\begin{align}
\begin{cases}h(x) &= 1\\
c(\beta) &= \beta\\
T(x) &= x\\
d(\beta) &= \log \beta\end{cases}
\end{align}

とおくと,
\begin{align}
f_X(x) = h(x) \exp(c(\beta)T(x) + d(\beta)
\end{align}

となるため,指数分布は指数型分布族である.
従って,
\begin{align}
S(\bm{X}) = \sum_{i=1}^n T(x_i) = \sum_{i=1}^n x_i
\end{align}

は完備十分統計量である.
レーマン・シェフェの定理より,$S(\bm{X})$の関数となっている$\beta$の不偏推定量がUMVUEである.

ところでパラメータ$\beta$の指数分布はパラメータ$(1,\beta)$のガンマ分布$\mathrm{Ga}(1,\beta)$である.ガンマ分布の再生性より

\begin{align}
S(\bm{X}) \sim \mathrm{Ga}(n,\beta)
\end{align}

となるから$S(\bm{X})$の確率密度関数$f_S(s)$は,
\begin{align}
f_S(s) = \frac{\beta^n}{\Gamma(n)}s^{n-1}e^{-\beta s}
\end{align}

である.

次に$Y(\bm{X}) = \cfrac{1}{S(\bm{X})}$とし,$Y(\bm{X})$の確率密度関数$f_Y$を求めると,

\begin{align}
f_Y(y) &= f_S\left(\frac{1}{y}\right)\left|\frac{\delt}{\delt y}\frac{1}{y}\right|\lnl
&= \frac{\beta^n}{\Gamma(n)}\left(\frac{1}{y}\right)^{n+1} e^{-\frac{\beta}{y}}
\end{align}

これから$\cfrac{n-1}{S(\bm{X})}$の期待値を求める.
\begin{align}
E\left(\frac{n-1}{S(\bm{X})}\right) &= (n-1)E(Y(\bm{X}))\lnl
&=(n-1)\int_0^\infty y\cdot \frac{\beta^n}{\Gamma(n)}\left(\frac{1}{y}\right)^{n+1} e^{-\frac{\beta}{y}} \delt y\lnl
&=\beta \cdot (n-1) \frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n)} \int_0^\infty \frac{\beta^{n-1}}{\Gamma(n-1)}\left(\frac{1}{y}\right)^{n} e^{-\frac{\beta}{y}} \delt y\lnl
&= \beta
\end{align}

よって$\cfrac{n-1}{S(\bm{X})}$が$\beta$のUMVUEとなる.なお,上記の最後の等号は積分部分が$n-1$のときの$Y(\bm{X})$の全確率となっていること,およびガンマ関数$\Gamma(n)=(n-1)!$を用いた.

次に$V\left(\cfrac{n-1}{S(\bm{X})}\right)$を求める.まず期待値と同様にして,$E\left[\left(\cfrac{n-1}{S(\bm{X})}\right)^2\right]$を求める.

\begin{align}
E\left[\left(\frac{n-1}{S(\bm{X})}\right)^2\right] &= (n-1)^2E(Y(\bm{X})^2)\lnl
&=(n-1)^2\int_0^\infty y^2\cdot \frac{\beta^n}{\Gamma(n)}\left(\frac{1}{y}\right)^{n+1} e^{-\frac{\beta}{y}} \delt y\lnl
&=\beta^2 \cdot (n-1)^2 \frac{\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)} \int_0^\infty \frac{\beta^{n-2}}{\Gamma(n-2)}\left(\frac{1}{y}\right)^{n-1} e^{-\frac{\beta}{y}} \delt y\lnl
&= \frac{n-1}{n-2}\beta^2
\end{align}

ただし,$n>2$の場合に限る.これから,
\begin{align}
V\left(\frac{n-1}{S(\bm{X})}\right) &= E\left[\left(\frac{n-1}{S(\bm{X})}\right)^2\right] – E\left(\frac{n-1}{S(\bm{X})}\right)^2\lnl
&= \frac{n-1}{n-2}\beta^2 – \beta^2\lnl
&= \frac{\beta^2}{n-2}
\end{align}

よって示された.
次にこれが有効推定量でないことを示す.尤度関数は,
\begin{align}
L(\beta) = \prod_{i=1}^n \beta \exp(-\beta x_i)
\end{align}

となる.続けてフィッシャー情報量$I_n$を求めると,
\begin{align}
\log L(\beta) &= n\log \beta – \beta \sum_{i=1}^n x_i\lnl
\frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \log L(\beta)&=-\frac{n}{\beta^2}\lnl
I_n(\beta) &= -E\left(\frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \log L(\beta)\right) = \frac{n}{\beta^2}
\end{align}

以上より,クラメール・ラオの下限は
\begin{align}
\frac{1}{I_n} &= \frac{\beta^2}{n}
\end{align}

となり$V\left(\cfrac{n-1}{S(\bm{X})}\right)$と等しくないので,$\cfrac{n-1}{S(\bm{X})}$は$\beta$の有効推定量ではない.