ex4.6.6 標準化したカイ二乗分布が標準正規分布に法則収束する証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.6.6

$T_n = \cfrac{Y_n-n}{\sqrt{2n}} = \cfrac{1}{\sqrt{2n}}Y_n – \sqrt{\cfrac{n}{2}}$とする.

自由度$n$の$\chi^2$分布の積率母関数$M(t)$は,

\begin{align}
M(t) = \left(\frac{1}{1-2t}\right)^\frac{n}{2}
\end{align}

である.

テキスト(2.6.6)より , $T_n$の積率母関数$M_T(t)$は,

\begin{align}
M_T(t) &= \exp\left(-\sqrt{\frac{n}{2}}t\right) M\left(\frac{1}{\sqrt{2n}}t\right)\lnl
&= \exp\left(-\sqrt{\frac{n}{2}}t\right)\cdot \left(\frac{1}{1-2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2n}}\right)t}\right)^{\frac{n}{2}}\lnl
&= \exp\left(\sqrt{\frac{2}{n}}t\right)^{-\frac{n}{2}}\left(1-\sqrt{\frac{2}{n}}t\right)^{-\frac{n}{2}} \label{eq-466}
\end{align}

ここで, $e^x$のマクローリン展開は,
\begin{align}
e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^3)
\end{align}

となることから,
\begin{align}
e^x(1-x) &= \left(1 + x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^3)\right)(1-x)\\
&=1-\frac{1}{2}x^2 + o(x^3)
\end{align}

となる.これを$\eqref{eq-466}$に適用すると,
\begin{align}
M_T(t) &=\left(1-\frac{t^2}{n} + o\left(n^{-\frac{3}{2}}\right)\right)^{-\frac{n}{2}} \xrightarrow{\mathrm{n\to \infty}} \exp\left(\frac{t^2}{2}\right)
\end{align}

これは標準正規分布の積率母関数であるため連続定理より示された.