はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
|
間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
スポンサーリンク
$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.1.3
以下, $Z$を標準正規分布に従う確率変数, $\Phi(z)$を標準正規分布の分布関数とする.
(i)$n=9$のとき
$\bar{X} \sim N\left(\mu,\cfrac{25}{9}\right)$に従う.
(a)
検定の大きさは,
\begin{align}
\sup_{H_0:\mu \le 100} p(\bar{X}> 102|H_0) &= \sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > \frac{102-\mu}{\sqrt{25}/\sqrt{9}}\right)\lnl
&=\sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > 61.2 – \frac{3}{5}\mu\right)\lnl
&=P(Z > 1.2)\lnl
&\fallingdotseq 0.1151
\end{align}
\sup_{H_0:\mu \le 100} p(\bar{X}> 102|H_0) &= \sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > \frac{102-\mu}{\sqrt{25}/\sqrt{9}}\right)\lnl
&=\sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > 61.2 – \frac{3}{5}\mu\right)\lnl
&=P(Z > 1.2)\lnl
&\fallingdotseq 0.1151
\end{align}
(b)
\begin{align}
\beta(\mu) &= P(\bar{X}> 102 | \mu)\lnl
&=P\left(Z > 61.2 – \frac{3}{5}\mu\right)\lnl
&= 1 – \Phi\left(61.2 – \frac{3}{5}\mu\right)
\end{align}
\beta(\mu) &= P(\bar{X}> 102 | \mu)\lnl
&=P\left(Z > 61.2 – \frac{3}{5}\mu\right)\lnl
&= 1 – \Phi\left(61.2 – \frac{3}{5}\mu\right)
\end{align}
# グラフ curve(1-pnorm(61.2 - 3/5 * x), xlim=c(95,110)) # 補助線:y=0.5 curve(0.5 + 0*x, xlim=c(95,110),col="gray",add=TRUE) # 補助線:x=102 abline(v=102,col="gray")
(i)$n=25$のとき
$\bar{X} \sim N\left(\mu,\cfrac{25}{25}\right) = N(\mu,1)$に従う.
(a)
検定の大きさは,
\begin{align}
\sup_{H_0:\mu \le 100} p(\bar{X}> 102|H_0) &= \sup_{H_0:\mu \le 100} P(Z > 102-\mu)\lnl
&=P(Z > 2)\lnl
&\fallingdotseq 0.02275
\end{align}
\sup_{H_0:\mu \le 100} p(\bar{X}> 102|H_0) &= \sup_{H_0:\mu \le 100} P(Z > 102-\mu)\lnl
&=P(Z > 2)\lnl
&\fallingdotseq 0.02275
\end{align}
(b)
\begin{align}
\beta(\mu) &= P(\bar{X}> 102 | \mu)\lnl
&=P\left(Z > 102 – \mu\right)\lnl
&= 1 – \Phi\left(102 – \mu\right)
\end{align}
\beta(\mu) &= P(\bar{X}> 102 | \mu)\lnl
&=P\left(Z > 102 – \mu\right)\lnl
&= 1 – \Phi\left(102 – \mu\right)
\end{align}
# グラフ curve(1-pnorm(102 - x), xlim=c(95,110)) # 補助線:y=0.5 curve(0.5 + 0*x, xlim=c(95,110),col="gray",add=TRUE) # 補助線:x=102 abline(v=102,col="gray")
(i)$n=100$のとき
$\bar{X} \sim N\left(\mu,\cfrac{25}{100}\right)$に従う.
(a)
検定の大きさは,
\begin{align}
\sup_{H_0:\mu \le 100} p(\bar{X}> 102|H_0) &= \sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > \frac{102-\mu}{\sqrt{25}/\sqrt{100}}\right)\lnl
&=\sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > 204 – 2\mu\right)\lnl
&=P(Z > 4)\lnl
&< 0.000041 \end{align}
標準正規分布表では$z=3.94$の値までしか与えられていないため, その値よりも小さいとした.
\sup_{H_0:\mu \le 100} p(\bar{X}> 102|H_0) &= \sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > \frac{102-\mu}{\sqrt{25}/\sqrt{100}}\right)\lnl
&=\sup_{H_0:\mu \le 100} P\left(Z > 204 – 2\mu\right)\lnl
&=P(Z > 4)\lnl
&< 0.000041 \end{align}
(b)
\begin{align}
\beta(\mu) &= P(\bar{X}> 102 | \mu)\lnl
&=P\left(Z > 204 – 2\mu\right)\lnl
&= 1 – \Phi\left(204 – 2\mu\right)
\end{align}
\beta(\mu) &= P(\bar{X}> 102 | \mu)\lnl
&=P\left(Z > 204 – 2\mu\right)\lnl
&= 1 – \Phi\left(204 – 2\mu\right)
\end{align}
# グラフ curve(1-pnorm(61.2 - 3/5 * x), xlim=c(95,110)) # 補助線:y=0.5 curve(0.5 + 0*x, xlim=c(95,110),col="gray",add=TRUE) # 補助線:x=102 abline(v=102,col="gray")