ex2.1.1 箱から取り出した赤球の個数の分布関数

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.1.1

確率変数$X$の取りうる値は $0 , 1 , 2$のいずれか。
それぞれの確率は

\begin{align}
P(X=0) &= \frac{_2\mathrm{C}_2}{_6\mathrm{C}_2} = \frac{1}{15} \lnl
P(X=1) &= \frac{_2\mathrm{C}_1\cdot{}_4\mathrm{C}_1}{_6\mathrm{C}_2} = \frac{8}{15} \lnl
P(X=2) &= \frac{_4\mathrm{C}_2}{_6\mathrm{C}_2} = \frac{6}{15}
\end{align}

従って、確率分布は、

\begin{align}
F_X(x) = \begin{cases}
0 & (x < 0) \lnl \cfrac{1}{15} & (0 \le x < 1) \lnl \cfrac{9}{15} & (1 \le x < 2) \lnl 1 & (x \ge 2) \end{cases} \end{align}
グラフは次のようになる。