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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.5.13

簡単のために、$ P(X = k) = P_k $と表記することにする。
期待値の定義より、

\begin{align}
E(X) &= \sum_{k=0}^\infty k\cdot P_k\\
&= P_1 + 2P_2 + 3P_3 +\cdots + iP_i + \cdots\\
&= (P_1 + P_2 + \cdots + P_i + \cdots ) + \\
&\qquad\qquad(P_2 + P_3 + \cdots + P_i + \cdots) + \\
&\qquad\qquad\qquad(P_3 + P_4 + \cdots + P_i + \cdots) +\\
&\qquad\qquad\qquad\quad\cdots+ \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(P_j + P_{j+1} + \cdots + P_i + \cdots)+\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\cdots\\
&= P(X \ge 1) + P(X \ge 2) + \cdots +P(X \ge i) + \cdots\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} P(X \ge k)
\end{align}

よって示された。