はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex1.A.7
起こりうる事象の総数は次のように考えればよい。
$n$個のボールと$r-1$個の仕切りの並べ方の総数と等しい
つまり、横に並んでいる$n+r-1$個のモノ(ボールと仕切り)から$n$個を選ぶ選び方の総数である。
選ばれたものをボール、選ばれなかったものを仕切りと考える。
例えば、$n=4$ , $r=4$の場合の選び方の一例を図に示す。
この図では、1個目の箱に1つ、3個目の箱に3つ、2個目と4個目の箱にはボールが入っていないことを表す。
起こりうる事象の総数は、
\begin{align}\binom{n+r-1}{n}\end{align}
これが起こる確率はいずれも同様に確からしい。
すべての箱に少なくとも1つのボールが入っているということは、次の条件を満たす場合である。
・2個連続仕切りにはならない
・一番端が仕切りにはならない
すなわち、上図のように、$n-1$個の隙間から$r-1$個を選ぶ場合の数に等しい。
\begin{align}\therefore \binom{n-1}{r-1}\end{align}
よって求める確率は、
\begin{align}\binom{n-1}{r-1}\Big/\binom{r+n-1}{n}\end{align}
となり示された。