はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.2.3
二項分布は1パラメータの指数分布族であり,その$m$個のランダム標本の結合密度関数は
\begin{align}
f(\bm{x};p) &= \left\{\prod_{i=1}^m \binom{n}{x_i}\right\} \exp\left(\log\frac{p}{1-p}\sum_{i=1}^m x_i + nm \log(1-p)\right)\lnl
&= \left\{\prod_{i=1}^m \binom{n}{x_i}\right\} \exp\left(m\log\frac{p}{1-p}\cdot \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_i + nm \log(1-p)\right)
\end{align}
f(\bm{x};p) &= \left\{\prod_{i=1}^m \binom{n}{x_i}\right\} \exp\left(\log\frac{p}{1-p}\sum_{i=1}^m x_i + nm \log(1-p)\right)\lnl
&= \left\{\prod_{i=1}^m \binom{n}{x_i}\right\} \exp\left(m\log\frac{p}{1-p}\cdot \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_i + nm \log(1-p)\right)
\end{align}
となる.テキスト(6.2.9)より$T(\bm{X}) = \displaystyle \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m X_i$が$E\big(T(\bm{X})\big)$の有効推定量でありUMVUEとなる.
$S(\bm{X})=\displaystyle \sum_{i=1}^m X_i$は二項分布の再生性より,$\mathrm{B}(mn,p)$に従うので,$E\big(S(\bm{X})\big) = nmp$であることを用いると,
\begin{align}
E\big(T(\bm{X})\big) = E\left(\frac{1}{m}S(\bm{X})\right) = \frac{1}{m}\cdot nmp = np
\end{align}
E\big(T(\bm{X})\big) = E\left(\frac{1}{m}S(\bm{X})\right) = \frac{1}{m}\cdot nmp = np
\end{align}
となり$T(\bm{X})$が$np$の有効推定量でありUMVUEとなることが示された.
またその分散は,$V\big(S(\bm{X})\big) = nmp(1-p)$を用いて,
\begin{align}
V\big(T(\bm{X})\big) = V\left(\frac{1}{m}S(\bm{X})\right) = \frac{1}{m^2}\cdot nmp(1-p) = \frac{np(1-p)}{m}
\end{align}
V\big(T(\bm{X})\big) = V\left(\frac{1}{m}S(\bm{X})\right) = \frac{1}{m^2}\cdot nmp(1-p) = \frac{np(1-p)}{m}
\end{align}
となり示された.