ex7.A.2 母標本比率に関する片側検定と信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.A.2

信頼区間

テキスト(6.5.12)より, $100(1-\alpha)$%信頼区間は,

\begin{align}
\left[ \hat{p} – z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} , \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]
\end{align}

となる.ただし ,$n$は標本数$n=100$であり, $\hat{p}$は標本平均$\hat{p}= 0.53$である.

$z_{0.025} = 1.96$より,

\begin{align}
0.53 – 1.96 \sqrt{\frac{0.53\cdot 0.47}{100}} \fallingdotseq 0.432\lnl
0.53 + 1.96 \sqrt{\frac{0.53\cdot 0.47}{100}} \fallingdotseq 0.628
\end{align}

となるから求める信頼区間は
\begin{align}
[0.432 , 0.628]
\end{align}

となる.

検定

本当の母集団比率を$p$とする.$p_0 = 0.5$とし, 帰無仮説$H_0$:$p \le p_0$に対する検定を行う.
テキスト(7.4.7)(a)より,水準$\alpha$としたとき,

\begin{align}
Z = \frac{\hat{p}- p_0}{\sqrt{\cfrac{p_0(1-p_0)}{n}}} > z_{\alpha}
\end{align}

ならば帰無仮説$H_0$を棄却する.与えられた数値から具体的に計算すると,
\begin{align}
Z = \frac{0.53- 0.5}{\sqrt{\cfrac{0.5\cdot 0.5}{100}}} = 0.6
\end{align}

となる.$z_{0.05} = 1.645$なので帰無仮説$H_0$は棄却できない.