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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.6.8

$ X_i \sim B\left(1,\cfrac{1}{2}\right) $とする。
また、

\begin{align}
S= X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}
\end{align}

とする。ここで、

\begin{align}
E(S) &= 100 \times \frac{1}{2} = 50 \lnl
V(S) &= 100\times \frac{1}{2} \times \left(1 – \frac{1}{2} \right) = 25
\end{align}

であるから、$S$は$N(50,25)$で近似できる。
求める確率は、$Z$を標準正規分布に従う確率変数とすると、

\begin{align}
P(45 \le S \le 60) &= P(-1 \le Z \le 2)\lnl
&=P(Z \le 2) – P(Z \le -1)\lnl
&= 0.818595
\end{align}

となる。