ex1.A.2 独立・排反の場合の事象の確率に対するいろいろな計算

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.A.2

(i)
(a)

\begin{align}P(A\cap B) = P(A)P(B) = 0.2\end{align}

(b)
\begin{align}P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) = 0.7\end{align}

(c)
\begin{align}P(A^c \cap B) = P(A^c)P(B) = 0.3\end{align}

(d)
\begin{align}P(A|B) = P(A) = 0.4\end{align}

(e)
\begin{align}P(A|A\cap B) = \frac{P(A\cap (A\cap B) )}{P(A\cap B)} = 1\end{align}

(f)
\begin{align}P(A| A\cup B) = \frac{P(A\cap (A\cup B) )}{P(A\cup B)} = \frac{4}{7}\end{align}

(ii)
(a)

\begin{align}P(A\cap B) = P(\phi) = 0\end{align}

(b)
\begin{align}P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) = 0.9\end{align}

(c)
\begin{align}P(A^c \cap B) = P(B) = 0.5\end{align}

(d)
\begin{align}P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = 0\end{align}

(e)$A$と$B$が排反であるので、$A\cap B = \phi$ 、条件付き確率$P(\cdot |\phi )$は定義されない。
よって本問の条件付き確率も定義されない。

(f)

\begin{align}P(A| A\cup B) = \frac{P(A \cap (A\cup B)) } {P(A\cup B)} = \frac{P(A)}{P(A\cup B)}=\frac{4}{9}\end{align}