イントロ
代表的な分布の性質を解説します。
今回は幾何分布です。
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定義
幾何分布は1つのパラメータ$p$をとり、確率$p$で当たるくじを連続してひいて、初めて当たりがでるまでの回数に関する確率を求めるのに利用します。
この幾何分布を$G(p)$と書いたりします。
確率関数は、$X \sim G(p)$として、
\begin{align}
P(X=k) = \begin{cases}p(1-p)^{k-1} & (k=1,2,\cdots) \\
0&(\text{others})
\end{cases}
\end{align}
P(X=k) = \begin{cases}p(1-p)^{k-1} & (k=1,2,\cdots) \\
0&(\text{others})
\end{cases}
\end{align}
と表されます。
なお、場合によっては「初めて当たりがでる回数」ではなく「初めて当たりが出た時の累積失敗回数」を$k$と置くことがあります。
この場合、上記の$k$より1少ない値となります。
期待値
定義通りに計算します。
途中でベキ級数の項別微分の定理を用います。
\begin{align}
E(X) &= \sum_{k=1}^\infty k \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=1}^\infty k \times p(1-p)^{k-1}\\
&=p \sum_{k=0}^\infty k \times (1-p)^{k-1} \\
&=p \sum_{k=0}^\infty \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p} (1-p)^k\right)\\
&=p \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k\right)\\
&=p \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}p^{-1}\right)\\
&=p\times \frac{1}{p^2}\\
&=\frac{1}{p}
\end{align}
E(X) &= \sum_{k=1}^\infty k \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=1}^\infty k \times p(1-p)^{k-1}\\
&=p \sum_{k=0}^\infty k \times (1-p)^{k-1} \\
&=p \sum_{k=0}^\infty \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p} (1-p)^k\right)\\
&=p \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k\right)\\
&=p \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}p^{-1}\right)\\
&=p\times \frac{1}{p^2}\\
&=\frac{1}{p}
\end{align}
分散
$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算しますが、一見トリッキーです。
まず、下記を計算します。
\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2} (1-p)^k\\
&=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2}\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k\\
&=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2} p^{-1}\\
&=2p^{-3}
\end{align}
\sum_{k=0}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2} (1-p)^k\\
&=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2}\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k\\
&=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2} p^{-1}\\
&=2p^{-3}
\end{align}
これを使うと、
\begin{align}
E(X(X-1)) &= \sum_{k=1}^\infty k(k-1) \times p(1-p)^{k-1}\\
&=p(1-p) \times \sum_{k=0}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2} \\
&=p(1-p) \times 2p^{-3}\\
&=2\frac{1-p}{p^2}\\
&=E(X^2) – E(X)
\end{align}
E(X(X-1)) &= \sum_{k=1}^\infty k(k-1) \times p(1-p)^{k-1}\\
&=p(1-p) \times \sum_{k=0}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2} \\
&=p(1-p) \times 2p^{-3}\\
&=2\frac{1-p}{p^2}\\
&=E(X^2) – E(X)
\end{align}
となるので、
\begin{align}
E(X^2) &= E(X(X-1)) + E(X)\\
&=2\frac{1-p}{p^2} + \frac{1}{p}\\
&=\frac{2-p}{p^2}
\end{align}
E(X^2) &= E(X(X-1)) + E(X)\\
&=2\frac{1-p}{p^2} + \frac{1}{p}\\
&=\frac{2-p}{p^2}
\end{align}
これから、
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\\
&= \frac{2-p}{p^2} – \frac{1}{p^2}\\
&= \frac{1-p}{p^2}
\end{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\\
&= \frac{2-p}{p^2} – \frac{1}{p^2}\\
&= \frac{1-p}{p^2}
\end{align}
積率母関数
定義通りに計算します。
\begin{align}
M_X(t) &= E(e^{tX}) \\
&= \sum_{k=1}^\infty e^{tk}\cdot p (1-p)^{k-1}\\
&= p e^t \sum_{k=1}^\infty e^{-t} e^{tk} (1-p)^{k-1}\\
&= p e^t \sum_{k=1}^\infty (e^{t})^{k-1} (1-p)^{k-1}\\
&= p e^t \sum_{k=1}^\infty (e^{t}(1-p))^{k-1}\\
&= \frac{p e^t}{1-e^t(1-p)}
\end{align}
M_X(t) &= E(e^{tX}) \\
&= \sum_{k=1}^\infty e^{tk}\cdot p (1-p)^{k-1}\\
&= p e^t \sum_{k=1}^\infty e^{-t} e^{tk} (1-p)^{k-1}\\
&= p e^t \sum_{k=1}^\infty (e^{t})^{k-1} (1-p)^{k-1}\\
&= p e^t \sum_{k=1}^\infty (e^{t}(1-p))^{k-1}\\
&= \frac{p e^t}{1-e^t(1-p)}
\end{align}
ただし、最後の変形は$|e^t(1-p)|<1$の場合に限ります。 積率母関数を使って期待値と分散を求めます。 普通にやると複雑な式になるので、$M_X(t)$の微分を$M_X(t)$に帰着させてうまく計算量を減らします。
\begin{align}
M_X'(t) &= \frac{pe^t}{1-e^t(1-p)} + \frac{1-p}{p}\left(\frac{pe^t}{1-e^t(1-p)}\right)^2\\
&=M_X(t) + \frac{1-p}{p}M_X(t)^2\\
M_X''(t) &= M_X'(t) + \frac{1-p}{p} 2\cdot M_X(t)\cdot M'(t)
\end{align}
これを使うと、$M_X(0)=1$なので、
\begin{align}
E(X) &= M_X'(0)\\
&=M_X(0) + \frac{1-p}{p}M_X(0)^2 \\
&=1+\frac{1-p}{p}\\
&=\frac{1}{p}\\
E(X^2) &= M_X''(0)\\
&=M_X'(0) + \frac{1-p}{p} 2\cdot M_X(0)\cdot M'(0)\\
&=\frac{1}{p} + 2\frac{1-p}{p}\cdot \frac{1}{p}\\
&=\frac{2-p}{p^2}
\end{align}
となるので、$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{2-p}{p^2}$となります。