ブラウン運動

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ブラウン運動

統計検定準1級（の例題）の問題を解いていると、

$W(t) , 0 \le t$,を標準ブラウン運動とする。・・・

[引用元：統計検定準1級 例題集 問10 : http://www.toukei-kentei.jp/about/grade1semi/]
という問題に出くわしました。
定義もなにもなかったので常識なのかなと思いきや、なかなか情報が出てこなかったので調べた範囲でまとめます。

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定義

実数値連続確率過程$\{W(t)\}, t\ge 0$が分散$\sigma^2$のブラウン運動(Brownian motion)であるとは、以下を満たすことをいう。

  1. $W(0) = 0$
  2. 全ての$0 < t$に対して、$W$は連続
  3. 区間が重ならない増分同士は独立。すなわち、任意の$t_{i_0} , t_{i_1} , t_{j_0} , t_{j_1}$に対して、$0 \le t_{i_0} < t_{i_1} \le t_{j_0} < t_{j_1}$であれば、$W(t_{i_1} – t_{i_0})$と$W(t_{j_1} – t_{j_0})$が独立（区間が重ならないことが重要）
  4. 全ての$0 < s < t$に対して、$W(t) – W(s) \sim N(0,(t-s)\sigma^2)$
  5. 全ての$0 < t$に対して、$W(t) \sim N(0,t\sigma^2)$

なお、$\sigma^2 = 1$のときを標準ブラウン運動(Standard Brownian motion)という。

練習問題

問題

実数値連続確率過程$\{W(t)\},t \ge 0$を分散$\sigma^2$のブラウン運動とする。次の問いに答えよ。

(i) $0 < a$としたとき、$W(a)$が従う分布を求めよ。
(ii) $0 < a < b$としたとき、$W(b)-W(a)$が従う分布を求めよ。
(iii) $0 < a < b$する。$W(a) = 10$が与えられたときの$W(b)$の条件付き期待値と条件付き分散を求めよ。
(vi) $0 < a < b$する。$W(b)= 10$が与えられたときの$W(a)$の条件付き期待値と条件付き分散を求めよ。

解答

(i)ブラウン運動の定義の5より、

\begin{align}
W(a) \sim N(0,a\sigma^2)
\end{align}

(ii)ブラウン運動の定義の4より、

\begin{align}
W(b) – W(a) \sim N(0,(b-a)\sigma^2)
\end{align}

(iii)$W(a) = W(a) – 0 = W(a) – W(0)$と表せることから、ブラウン運動の定義(3)より$W(a)$と$W(b)-W(a)$は独立。
また、

\begin{align}
&W(b) – W(a) \sim N(0,(b-a)\sigma^2)\\
&W(a) \sim N(0,a\sigma^2)\\
&W(b) \sim N(0,b\sigma^2)
\end{align}

となる。$W(a)$と$W(b)$の相関係数$\rho$は、
\begin{align}
\rho &= \frac{Cov(W(a),W(b))}{\sqrt{V(W(a)) V(W(b))}}\\
&= \frac{E[W(a)W(b)] – E[W(a)]E[W(b)]}{\sqrt{ab}\sigma^2}\\
&= \frac{E[W(a)\cdot\{W(a) + W(b) – W(a)\}]}{\sqrt{ab}\sigma^2}\\
&= \frac{E[W(a)^2]+ \textcolor{red}{E[W(a)\cdot\{W(b) – W(a)\}]}}{\sqrt{ab}\sigma^2}\\
&= \frac{E[W(a)^2] + \textcolor{red}{E[W(a)]E[W(b) – W(a)]}}{\sqrt{ab}\sigma^2} \\
&= \frac{V[W(a)] }{\sqrt{ab}\sigma^2} \\
&= \frac{a\cancel{\sigma^2} }{\sqrt{ab}\cancel{\sigma^2}} \\
&= \sqrt{\frac{a}{b}}
\end{align}

なお、赤字部分は二つの分布が独立であることを使って変形した。
従って、$(W(a),W(b))$が従う同時確率分布は平均$(0,0)$、分散$a\sigma^2 , b\sigma^2$、相関係数$\sqrt{\frac{a}{b}}$の二変量正規分布となる。
$W(a)=10$が与えられたときの$W(b)$の条件付き期待値$E_b$と条件付き分散$V_b$は、
\begin{align}
E_b &= E[W(b)] + \rho\left(\sqrt{\frac{V[W(b)]}{V[W(a)]}}\right)(W(a) – E[W(a)])\\
&=0 + \sqrt{\cancel{\frac{a}{b}}}\cdot \sqrt{\cancel{\frac{b \sigma^2}{a \sigma^2}}}(10 – 0)\\
&= 10 \\
V_b &= b \sigma^2(1-\rho^2)\\
&= b \sigma^2\left(1 – \frac{a}{b}\right)\\
&= (b-a)\sigma^2
\end{align}

答えの考察
この結果は座標をずらして、$(a,W(a)=10)$を改めて原点$(0,0)$と定義しなおしたと考えるとわかりやすいです。
ブラウン運動がマルコフ過程であることがわかります。

(iv)(iii)の結果を使うと、、$(W(a),W(b))$が従う同時確率分布は平均$(0,0)$、分散$a\sigma^2 , b\sigma^2$、相関係数$\sqrt{\frac{a}{b}}$の二変量正規分布となる。
$W(b)=10$が与えられたときの$W(a)$の条件付き期待値$E_a$と条件付き分散$V_a$は、

\begin{align}
E_a &= E[W(a)] + \rho\left(\sqrt{\frac{V[W(a)]}{V[W(b)]}}\right)(W(b) – E[W(b)])\\
&=0 + \sqrt{\frac{a}{b}}\cdot \sqrt{\frac{a \sigma^2}{b \sigma^2}}(10 – 0)\\
&= \frac{10a}{b} \\
V_a &= a \sigma^2(1-\rho^2)\\
&= a \sigma^2\left(1 – \frac{a}{b}\right)
\end{align}