デルタ法による確率変数変換後の近似的な期待値・分散の求め方

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

イントロ

確率変数$X$に対して$\sqrt{X}$や$X^2$の期待値や分散を求める問題は頻出です。
具体的に計算できればいいのですが、うまくできない場合にデルタ法(Delta method)による近似を行うことがあります。
今回は、デルタ法について紹介します。
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ブラウン運動

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ブラウン運動

統計検定準1級（の例題）の問題を解いていると、

$W(t) , 0 \le t$,を標準ブラウン運動とする。・・・

[引用元：統計検定準1級 例題集 問10 : http://www.toukei-kentei.jp/about/grade1semi/]
という問題に出くわしました。
定義もなにもなかったので常識なのかなと思いきや、なかなか情報が出てこなかったので調べた範囲でまとめます。
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統計検定の公式問題集のバリエーションを調べてみた

統計検定の公式問題集

統計検定は一般財団法人 統計質保証推進協会が行っている統計に関する知識や活用力を評価する試験です。
1級/準1級/2級/3級/4級に加えて統計調査士・専門統計調査士の試験があります。
（過去にはRSS/JSS試験がありましたが、2017年5月の試験をもって終了しています）

これらの過去問は公式問題集として販売されているのですが、種類が多くてわかりにくかったのでまとめてみました。
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ランダム標本

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ランダム標本の定義と記法

確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$が互いに独立で同一の確率分布$X$に従うとき、確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$は大きさnのランダム標本(random sample of size n)、または大きさを省略して単にランダム標本という。
これを

\begin{align}
X_1,X_2,\cdots,X_n \overset{\text{i.i.d}}{\sim} X
\end{align}

と表す。
i.i.dは独立で同一の分布（independent and identically distributed）の頭文字である。
また、このとき確率分布$X$を母集団分布(population distribution)という。
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Rでヴィジュネル暗号を解く

目的

Rで「ヴィジュネル暗号」を解きながら次のようなことを学びます。
– χ二乗検定を用いて既知の頻度分布と、手元のデータの分布が一致するか調べることができる。
– Rの（癖のある）文字列操作をちょっとできるようになる。
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