前回、統計検定を11/25に受けてきたと報告いたしましたが、本日合格発表があり午前も午後も無事合格していました。

合格までの勉強歴などは別途書こうと思います。

さて、前回（2017年11月）の合格率を見て、約24%*26%でおよそ6%ちょっとしか同時に受からないんだなぁと思っていましたが、合格発表で合格番号がならんでいるのを見て、あれ、同時合格って結構たくさんいる？と疑問に思いました。

確かに、午前と午後同じ会場だったし、受験番号の上4桁は会場コードぽいので、下3桁が会場内の連番だとすると、以下を仮定したら同時合格推理できるかも？と思い検証してみました。

• 午前と午後を同時に受けた人で受験番号の順序は入れ替わらない
  （たとえばAさんが午前受験番号3,Bさんが5だとすると、午後にAさん10,Bさん8みたいな順序の入れ替わりは発生しない）
• ほとんどの受験生が午前も午後も受ける

図を作ってみた

これが、とある会場（上4桁が同じ）の合否です。
左が数理統計、右が統計応用です。
〇のセルを黄色く塗っています。
赤〇はS合格者、緑〇はA合格者です。

枠で囲った部分が、〇と×の並びが似通っていて、同じ受験生では？と思わせるところです。
（青枠の中は完全一致しませんが、途中の□で囲った×の方が午後受けてないと仮定すれば一致）

ぶつ切りにしたのが間違いかも（改行があるところがわかりにくい）と思って、横に並べてみました。

画像を3つに分けています。それぞれ受験番号の1～100,101～200,201～300です。上の黒い点が受験番号50の刻みを表しています。
上の段が数理統計、下の段が統計応用です。

黄色が合格者で、そのうちオレンジが同じ人なんじゃないかなというところです。
下の丸数字は数理統計の受験番号ー応用数理の受験番号（Dとします）です。
一応、ルールをつけて色付けしており、

• 自分の受験番号はオレンジに塗る
• 模様が特徴的で、Dの値が近傍と変わらないか、±1に収まるところは同じ人とみなしオレンジ
• 最後の2マス（⓽の近くの2名）は自信ないですがオレンジにしました

適当にやりましたが、なんとなく、納得性はあるのではないでしょうか。（統計検定合格者の発言か？）

これで表を作ると（受験者数を280として）

計算するまでもないですが、強い相関関係がみられますね。

以下はご参考です。

x <- matrix(c(221,15,20,24),ncol=2,byrow=T)
colnames(x) <- c("応用不合格","応用合格")
rownames(x) <- c("数理不合格","数理合格")
x

応用不合格 応用合格
数理不合格 221 15
数理合格 20 24

chisq.test(x)

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: x
X-squared = 67.873, df = 1, p-value < 2.2e-16

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統計検定1級を受けてきました

受験会場は東京大学本郷キャンパス法文1号館。
丸ノ内線本郷三丁目駅から歩いて約10分ほどかかりました。

1級は受験者少ないかなと思ったら意外と多く、私がいた教室は100人以上は余裕でいました。
人数が多いせいか試験監督は解答用紙・マークシート・問題用紙の配布から、電卓の確認、受験票の回収など大忙しでしたね。
お疲れ様です。

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マークシート・解答用紙・問題用紙

さて、試験ですが問題用紙の表紙と裏表紙はこんな感じです。

問題用紙の裏にある通り、解答用紙の表紙に自分が解答した問題に〇をつけるようになっています。
また、解答用紙の表紙に受験番号、また解答ページに受験番号と解いた問題番号を書く必要があります。

マークシートはアンケート用でした。
WEB合格発表の希望や最終学歴などを聞かれました。

問題はA4の紙の見開きで左側ページに問題分、右側ページは計算用紙になっています。
ただ、問題文が長い場合は右側も問題ページとなっており、計算は余白で行うか別のページで行う必要があります。
（計算用紙使わずにいきなり解答用紙に書いてもいいのですが、、、）
なお、付表は問題用紙の最後にまとめて記載されています。これは公式問題集と同じ形式でした。

解答用紙はA4の紙の見開きで、各ページの両端は採点用の欄になっていますので、解答は内側を使うことになります。
私が通っていた大学の入試の記述問題や大学の定期試験の解答用紙は完全に真っ白の解答用紙でしたが、統計検定では横罫線が入っています。感覚的にはA罫ぐらいでしょうか。
この横罫線が濃く・太くて解答しづらいったらありゃしないです。
分数など、分母分子を二行に分けて書いていると横線が罫線と被ってしまい、見にくくなったりして、ただでさえ記述量が多いのにいらっとします。
正直、真っ白なほうが受験生も採点者もWIN-WINだと思うのですが、罫線入れる理由って何かあるのでしょうか。

で、肝心の試験ですが、

午前：統計数理

パラパラと問題を眺めて、まずは問1を解くことにしました。
計算ミスすると手戻りが多そうだったので、計算用紙に下書きしてから解答用紙に必要部分を書き写すことにしました。
問1は正規分布の標準偏差の期待値をχ二乗分布を用いて導出する問題でした。(1)～(3)を順調に解いて、(4)は時間がかかりそうだったのでおあずけ。
いったん問2にいくことに。
問2は具体的に計算してみて式の形は見えたものの、論述がめんどくさそうなので捨てて、やっぱり問3に変更しました。
問3は二項分布の条件付き確率関数や期待値、分散を求める問題です。
(1)～(4)までは順調に解いて、(5)は「ん？計算法を示せ？」となって計算をせずに計算法だけ示しました。
（尤度関数を最大化する$\theta$を求めればよい、具体的には対数尤度関数を$\theta$で微分して0と置き、増減表を書いて最大値を取る$\theta$を求める　ぐらいの記述）
でも、もしかしたら2016年統計応用（理工学）の問4のようにある程度関係式まで求めるところまで書いて、最後の計算はしないぐらいが正解だったかなぁと今思っています。
「モーメント法に基づく推定値でもあることを示せ」の部分は計算してないなりに、根拠を書いてみましたが、計算したほうが早かったかも。。。

次に問5は一様分布の順序統計量で簡単そうだったので、(1)(2)はさくっと解きました。
(3)の前に問1の清書や(4)を少し手を付けたりするのに時間をとられ、結局時間切れで(3)は解ききれず。

午後：統計応用 理工

統計応用は選択分野ごとに教室変わるのかと思ったら、人数的にはたぶんみんな同じ部屋でしたね。
午前と同じく全問目を通してみますが、第一印象で解ききれると思う問題がなくちょっと焦る。
とりあえず、問1の半分ぐらいは行けるだろうという目論見で解き始めます。
今回は計算量は少なそうで、計算ミスの恐れもなさそうだったのでいきなり解答用紙に記入しました。

問1は(1)～(3)あたりはただの計算問題で、(4)(5)はきちんと論証しきれていないと思いつつ、次の問題へ。
問2は計算問題をサクッと解いて、あとはつまみ食い状態。
問5は計算量にはまりそうになるも、何とか解けた？気が。
2次導関数って久しぶりに求めましたが、図形的な意味があいまい（正負どっちが凸だっけ？みたいな）になっていて、不安を残しながらも最後に出てきた不等式見てまあそうだよねと思ったのでよしとします。

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まとめ

手ごたえ的には準1級の時と同じくボーダーぐらいかなと思っています。
大学受験風に書けば、午前も午後も1完2半ですが完も「完璧」という意味ではなく「怪しいところは残しつつも全問解けた」レベルなので正解次第では半に格落ち、もしかしたら$\times$に近い半でもおかしくないですね。
（準1級でA合格もらえた感じだと、相当部分点はもらえそうな印象はありますが）

感想はとにかく、記述量が多い。1日たった今日でも手首が痛いです。
ちゃんと書こうとすればするほど記述しなくてはいけなくて、例えば表に与えられてるとある数字を使いたい場合に、「Aクラスの数学選択者の標準偏差を〇〇とし、Aクラスの数学非選択者の標準偏差を××とし、・・・」と記号を定義するために記述量が増えるという悪循環。
今思えば、上記の場合は単に 「$a = 6.8,b=7.8$とする」などと書いてもよかったですが。

公式テキストの解答はかなり簡潔に書いていたり詳しく書いていたりマチマチなので安全側に倒すと詳細に書くしかないのかなあと思っています。ただ、最尤推定量を求める際に導関数の正負を調べていなかったりと厳密さにかけるなぁと思っている点はありました（2014年統計数理 問5の解答で、「試験の解答ではそこまで要求していない」と明記されていますね）
なので、詳細に書いて時間が足りなくなるぐらいなら簡潔に書ける分には書いてもいいんじゃないかと思います。

統計の難しい応用理論を勉強するよりも、地道に期待値・分散・モーメント母関数の導出や代表分布の性質などを身に着けたほうが合格に近づきそうな気がします。

私は落ちていたら来年も受けますが、とりあえず当初の目的の機械学習や人工知能の勉強に手を付けたいと思います。
以上、長くてまとまりのない文で申し訳ないですが統計検定1級の受験記でした。
結果を受けて、勉強法(成功例 or 失敗例)とか書いていきます。

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準1級受かるまでに勉強してきたことを紹介します。

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勉強法

昨年の9月ごろより統計学の勉強を開始しています。
いつ業務でAIやアナリティクスが必要になってもいいようにという動機でしたので、当初は統計検定はあまり意識していなかったです。
2級ぐらい取れればいいや、との感覚でしたがCBTでいつでも受けられると思い、ずるずると来てしまい、結局受けずじまいでした。

最初の3か月ぐらいは明解演習数理統計で問題を解きながら、わからないところを「岩波書店　確率・統計入門」やインターネットで調べていました。
その後、赤本が評判よかったので2回ほど通読、基礎はここらへんで固まったと思います。
そして入門・演習数理統計を解いてこのブログで解答を公開し始めました。時間はかかりましたが再度問題を解く際に参照できるので便利です。
検定2か月ぐらい前に過去問を解いてみて、試験範囲が思ったよりも多岐にわたることが判明したので、勉強方法を過去問中心に切り替えました。
準1級の過去問はまだ量が少ないので2級の過去問も解きました。
時間計りながら解いて、間違えたところを念入りに復習。結果的に各年度2回ほど解きました。
過去問を解いていて最低限覚えないといけない式は暗記ペーパーを作って覚えました。

なお準1級の過去問で、関数電卓の持ち込みが許可されていた時代の問題は、現在持ち込み可能な電卓では解けないものもあります。
過去問にこの時代は関数電卓OKであったと記載しておいてほしいです。

以下に、使った教科書・参考書・問題集を紹介します。参考にしてください。

教科書・参考書編

東京大学教養学部統計学教室編　基礎統計学I「統計学入門」

統計学入門 （基礎統計学） [ 東京大学 ] 価格：3024円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★★★★
言わずと知れた統計学の赤本ですね。
とにかくこの本の内容がわからなきゃ準1級はおろか2級も厳しいのではないかと思います。
演習問題は解いていません。
通勤途中などに用語・考え方を中心に読み込みました。
2周ぐらいは最初の章から順番に読んで、そのあとは辞書代わりに使っていました。

岩波書店　確率・統計入門

確率・統計入門 [ 小針あき宏 ] 価格：3132円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★☆☆☆
最初は家にあったこの本で勉強を始めました。
例題も多く勉強しやすそうに思えたのですが、扱っている内容が理論側に特化しているきらいがあり、飽きちゃいました。

東京大学教養学部統計学教室編　基礎統計学II「人文・社会科学の統計学」

人文・社会科学の統計学 （基礎統計学） [ 東京大学 ] 価格：3132円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★★☆☆
緑本です。
赤本、青本ほどは評判は高くないですがこの本でしか触れられていないことは多く、特に準1級で頻出のダービン・ワトソンの統計量の勉強には欠かせないです。
通読はしておらず、問題を解いて理解が足りない部分の勉強に必要な部分のみ読みました。

東京大学教養学部統計学教室編　基礎統計学III「自然科学の統計学」

自然科学の統計学 （基礎統計学） [ 東京大学 ] 価格：3132円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★★★☆
青本です。
赤本の後に読むつもりでしたが、内容が高度なため通勤中に読んで理解というわけにはいかず、紙と鉛筆を使って手を動かさなきゃ厳しいと感じて、結局通読はできていません。
必要なトピックを拾って読んで、理解してという感じで勉強しました。
赤・緑・青と揃えましたがこの本だけあればとりあえず数理統計的な部分は他の本はいらないと思います。
ただ、数学が苦手な人がこれを読むのはきついだろうなと思います。

共立出版　数理統計学の基礎

数理統計学の基礎 [ 野田一雄 ] 価格：4536円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★☆☆☆
理論的に数理統計を学びたい方にはお勧めですが、誤植が多いのに加えて他の書籍とは違う記法を使っていたりという点では評価できないです。
同じ著者による入門・演習　数理統計は勉強しやすいのですが。
他の本にではあまり触れられていない特性関数も扱っています。
私が購入した2018年1月ごろは欠品が続いており、中古本をやっと手に入れたのですが、今は普通に買えるようです。

問題集編

共立出版　明解演習数理統計

明解演習数理統計 [ 小寺平治 ] 価格：2592円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★★★☆
統計検定2級レベルであればこの本でばっちりです。
誤植はそれなりに多いのですが、気づいたところはこちらで記事にしていますので参考にしてください。
昨年末ごろに3か月ぐらいかけて1週しました。そのため、統計検定に直接役立ったかどうかはわからないですが鈍っていた数学的な思考のリハビリにはよかったです。
準1級の試験範囲全てをカバーできていないので別途勉強する必要があります。

培風館　統計学演習

統計学演習 [ 村上正康 ] 価格：2376円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★☆☆☆
大学時代に使っていたのか本棚にあった本です。
最初の記述統計に近いような部分は参考になりましたが、それ以降は明解演習に集中したかったのでやっていません。

共立出版　入門・演習数理統計

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ] 価格：3780円（税込、送料無料) (2018/7/16時点)

おススメ度：★★★☆☆
これを解いてもすぐに点に結び付くわけではないと思います。
私は基礎から着実にやりたかったので頑張って解いています。
（が、統計検定の日程が迫っていたのでペンディング中）
この厚さの問題集をやっても試験範囲が網羅できないとは、統計学の奥深さを物語っていますね。

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手ごたえとしては、受かってるような気がするのですが、落ちていてもやっぱりねと思ってしまう程度の自信なので心配。
問題ごとに感想を、

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問1
基本的な問題かなとは思うんですが、2回目の計算結果に自信が持てない。
15分ぐらい使っちゃったような気がする

問2
得意なはずだが[2]で手が止まってしまう。
いったん飛ばして最後に戻ってきて解けた

問3
これも手が止まる
いったん飛ばして、最後に戻ってきてそれっぽいこと書いてみたが自信なし

問4
独立性の検定だからカイ二乗検定かと思いきやZ検定
今回はこういうちょっとずらしてくる問題が多かった気がする
暗記じゃだめよというメッセージか

問5
ウィルコクソンなる単語（人名？）を初めて見る
[1][2]はなんとなくかけたが
[3]は解き方がわからない

問6
途中で文系と理系の人数を逆にしていたが、気づいて修正できた
選択肢にそういうひっかけがあったらやばかった

問7
ほぼ勘

問8
たぶんできた

問9
クラメールの連関係数って言いたかっただけの問題？
結局ピアソンのカイ二乗検定がメインになったような

問10
過去問やっていればスパース性のあるL1正規化が（ウ）っていうのは気づけるけど、
5個中4個の選択肢がこれなので大して絞り込めず。
説明変数の数を減らす作用のあるAICをつけたのが（ア）だろうから、正解は⑤かなと想像
[2]はなんか見たことあるけどというレベルだったので勘

問11
共通性と因子の関係は見抜けなかったが、普及率にふさわしい値を選んだらわかった。
バリマックス法は知らなかったけど、絞ったうえで勘でがんばる

問12
これは簡単だった

問13
[1]ようはπ(y)/π(x^(t))のπをΦを使って書けばいいんだろと、それっぽく書く
[2]0.1,1,6がどうしても0.1と1.6に見えてしまって2個しかないじゃん！と5分ぐらいあせる
　ここらへんであと20分と勘違い（本当は終了時間見間違えてて、50分残り）
　あとで時間があるのに気づいて戻ってきて冷静に解くと簡単
[3]時間無い！と思って簡潔に書く

論述問題は最初は問2を解こうと思ったけど、[1](1)で躓いたので問1を解く
だが、正直ほとんど当てずっぽうで自信なし

The post 統計検定準1級を受けてきた2018/6/17 first appeared on My Interests.

ブラウン運動

統計検定準1級（の例題）の問題を解いていると、

$W(t) , 0 \le t$,を標準ブラウン運動とする。・・・

[引用元：統計検定準1級 例題集 問10 : http://www.toukei-kentei.jp/about/grade1semi/]
という問題に出くわしました。
定義もなにもなかったので常識なのかなと思いきや、なかなか情報が出てこなかったので調べた範囲でまとめます。

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定義

実数値連続確率過程$\{W(t)\}, t\ge 0$が分散$\sigma^2$のブラウン運動(Brownian motion)であるとは、以下を満たすことをいう。

1. $W(0) = 0$
2. 全ての$0 < t$に対して、$W$は連続
3. 区間が重ならない増分同士は独立。すなわち、任意の$t_{i_0} , t_{i_1} , t_{j_0} , t_{j_1}$に対して、$0 \le t_{i_0} < t_{i_1} \le t_{j_0} < t_{j_1}$であれば、$W(t_{i_1} – t_{i_0})$と$W(t_{j_1} – t_{j_0})$が独立（区間が重ならないことが重要）
4. 全ての$0 < s < t$に対して、$W(t) – W(s) \sim N(0,(t-s)\sigma^2)$
5. 全ての$0 < t$に対して、$W(t) \sim N(0,t\sigma^2)$

なお、$\sigma^2 = 1$のときを標準ブラウン運動(Standard Brownian motion)という。

練習問題

問題

実数値連続確率過程$\{W(t)\},t \ge 0$を分散$\sigma^2$のブラウン運動とする。次の問いに答えよ。

(i) $0 < a$としたとき、$W(a)$が従う分布を求めよ。
(ii) $0 < a < b$としたとき、$W(b)-W(a)$が従う分布を求めよ。
(iii) $0 < a < b$する。$W(a) = 10$が与えられたときの$W(b)$の条件付き期待値と条件付き分散を求めよ。
(vi) $0 < a < b$する。$W(b)= 10$が与えられたときの$W(a)$の条件付き期待値と条件付き分散を求めよ。

解答

(i)ブラウン運動の定義の5より、

(ii)ブラウン運動の定義の4より、

(iii)$W(a) = W(a) – 0 = W(a) – W(0)$と表せることから、ブラウン運動の定義(3)より$W(a)$と$W(b)-W(a)$は独立。
また、

(iv)(iii)の結果を使うと、、$(W(a),W(b))$が従う同時確率分布は平均$(0,0)$、分散$a\sigma^2 , b\sigma^2$、相関係数$\sqrt{\frac{a}{b}}$の二変量正規分布となる。
$W(b)=10$が与えられたときの$W(a)$の条件付き期待値$E_a$と条件付き分散$V_a$は、

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統計検定は一般財団法人 統計質保証推進協会が行っている統計に関する知識や活用力を評価する試験です。
1級/準1級/2級/3級/4級に加えて統計調査士・専門統計調査士の試験があります。
（過去にはRSS/JSS試験がありましたが、2017年5月の試験をもって終了しています）

これらの過去問は公式問題集として販売されているのですが、種類が多くてわかりにくかったのでまとめてみました。

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一覧

試験/対象年 値段	2011	2012	2013	2014		2015		2016		2017		リンク
	11	11	11	6	11	6	11	6	11	6	11
1級・準1級
2016～2017 3,240円								〇 準1級	〇 1級	〇 準1級	〇 1級
2014～2015 3,240円					〇 1級	〇 準1級	〇 1級
1級・RSS/JSS
2012～2013 3,240円		〇	〇
試験/対象年 値段	2011	2012	2013	2014		2015		2016		2017		リンク
	11	11	11	6	11	6	11	6	11	6	11
2級
2015～2017 1,944円						〇	〇	〇	〇	〇	〇
2014～2016 1,944円				〇	〇	〇	〇	〇	〇
2013～2015 1,728円			〇	〇	〇	〇	〇
2012～2014 1,728円		〇	〇	〇	〇
2011～2013 1,728円	〇	〇	〇
試験	2011	2012	2013	2014		2015		2016		2017		リンク
	11	11	11	6	11	6	11	6	11	6	11
3級・4級
2015～2017 1,944円						〇	〇	〇	〇	〇	〇
2014～2016 1,944円				〇	〇	〇	〇	〇	〇
2013～2015 1,728円			〇	〇	〇	〇	〇
2012～2014 1,728円		〇	〇	〇	〇
2011～2013 1,728円	〇	〇	〇
試験	2011	2012	2013	2014		2015		2016		2017		リンク
	11	11	11	6	11	6	11	6	11	6	11
統計調査士・専門統計調査士
2013～2015 3,024円			〇		〇		〇
2011～2013 2,808円	〇	〇	〇

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