サンプル分位数の漸近正規性

サンプル分位数の漸近正規性で示した通り次が成り立ちます.

今回は, この定理が本当に成り立っているのかRを使ってシミュレーションしていきましょう.

シミュレーション

$F$が正規分布の場合

$F$を$\mathrm{N}(50,10^2)$に従う場合でシミュレーションしてみます.
$n= 100 , p = 0.3$とします.
この場合, $Q_p \fallingdotseq 44.756 , f(Q_p) \fallingdotseq 0.03477$なので,

Rのコードは次のようになります.

loop <- 1:10000 # Qpを計算する回数
n <- 100 #各回で利用するサンプル数
p <- 0.3 #分位点の位置

mean <- 50 # Fの従う正規分布の平均
sd <- 10 # Fの従う正規分布の標準偏差

qp <- qnorm(mean = mean,sd = sd,p = p) # 真のQpの値
f_qp <- dnorm(mean=mean,sd=sd,x = qp) #真のf(Qp)の値

qps = c() # 各回のQpを格納
for(i in loop){
  # サンプルをn個作成
  x <- rnorm(n,mean=mean,sd=sd)
  z = sort(x)[ceiling(n*p)] #標本分位点
  qps <- rbind(qps,c(z))
}
plot(density(qps)) #得られたQpの分布から密度関数を推定しプロット
# 収束先の分布をプロット
curve(dnorm(x,mean=qp,sd=sqrt(p*(1-p)/n)/f_qp),add = T,col="red")

実行結果：

黒線がシミュレーションで生成した$\hat{Q}_p$で赤線が収束先の分布, つまり$\mathrm{N}\left(44.756,1.737\right)$です.
よく一致していることがわかります.

$F$がカイ二乗分布の場合

$F$を$\chi^2(8)$に従う場合でシミュレーションしてみます.
$n= 200 , p = 0.7$とします.
この場合, $Q_p \fallingdotseq 9.524 , f(Q_p) \fallingdotseq 0.0769$なので,

Rのコードは次のようになります.

loop <- 1:10000 # Qpを計算する回数
n <- 200 #各回で利用するサンプル数
p <- 0.7 #分位点の位置

df <- 8 # Fの従うカイ二乗分布の自由度

qp <- qchisq(df = df,p = p) # 真のQpの値
f_qp <- dchisq(df = df,x = qp) #真のf(Qp)の値


qps = c() # 各回のQpを格納
for(i in loop){
  # サンプルをn個作成
  x <- rchisq(n,df = df)
  
  z = sort(x)[ceiling(n*p)] #標本分位点
  qps <- rbind(qps,c(z))
}
plot(density(qps)) #得られたQpの分布から密度関数を推定しプロット
# 収束先の分布をプロット
curve(dnorm(x,mean=qp,sd=sqrt(p*(1-p)/n)/f_qp),add = T,col="red")

実行結果：

黒線がシミュレーションで生成した$\hat{Q}_p$で赤線が収束先の分布, つまり$\mathrm{N}\left(9.524,0.1775\right)$です.
よく一致していることがわかります.

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はじめに

ここでは, サンプル分位数の漸近正規性を示します.
必要な定義なども触れながら示していきますので, 一応このページだけ見ればわかるようにしています.

本ページで示すサンプル分位数の漸近正規性をRでシミュレーションした結果はこちらのページです。

分位数

$F$を分布関数とします. 分布関数の定義より右連続です.
$0 < p < 1$となる$p$に対して, $F$の$p$分位数($p$-th quantile or fractile of $F$)は,

標本分布関数

分布$F$に従う大きさ$n$の標本$\{X_1 , X_2,\cdots ,X_n \}$を考えます.この標本に対しての標本分布関数(sample distribution function)とは,

標本分位数(サンプル分位数)

$0 < p < 1$となる$p$に対して, この標本に対する$p$標本分位数またはサンプル分位数($p$-th quantile of the sample distribution function $F$)は, 標本分布関数$F_n$に対する$p$分位数のことです.つまり,

標本分位数の漸近正規性

$F'(x+)$を$F$の右微分係数 , $F'(x-)$を$F$の左微分係数とします.

定理の証明の前に, 2つの系を紹介します.

系A. $0 < p < 1$とし, 確率分布関数$F$が$Q_p$で微分可能であり, その微分係数が正であるとき,

定理Aの証明

$t$を固定し, $A > 0$を後で定義する標準化定数とする.また,

定理Aの(3)はこれから直ちに導けます.つまり$\eqref{l-6}$で$t=0$とおくと, $G_n(0)=P(B_n^*(p) \ge 0)$となりますが, これは$n\to\infty$で$\Phi(0)=1/2$に収束します.

定理Aの(1)と(2)に関しては, Berry-Esseenの定理を用います.これは,

定理Aの利用例：標本メジアンの極限分布

もし分布関数$F$が$Q_{1/2}$で微分可能なら, 標本メジアン$\hat{Q}_{1/2}$の極限分布は,

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前回、統計検定を11/25に受けてきたと報告いたしましたが、本日合格発表があり午前も午後も無事合格していました。

合格までの勉強歴などは別途書こうと思います。

さて、前回（2017年11月）の合格率を見て、約24%*26%でおよそ6%ちょっとしか同時に受からないんだなぁと思っていましたが、合格発表で合格番号がならんでいるのを見て、あれ、同時合格って結構たくさんいる？と疑問に思いました。

確かに、午前と午後同じ会場だったし、受験番号の上4桁は会場コードぽいので、下3桁が会場内の連番だとすると、以下を仮定したら同時合格推理できるかも？と思い検証してみました。

• 午前と午後を同時に受けた人で受験番号の順序は入れ替わらない
  （たとえばAさんが午前受験番号3,Bさんが5だとすると、午後にAさん10,Bさん8みたいな順序の入れ替わりは発生しない）
• ほとんどの受験生が午前も午後も受ける

図を作ってみた

これが、とある会場（上4桁が同じ）の合否です。
左が数理統計、右が統計応用です。
〇のセルを黄色く塗っています。
赤〇はS合格者、緑〇はA合格者です。

枠で囲った部分が、〇と×の並びが似通っていて、同じ受験生では？と思わせるところです。
（青枠の中は完全一致しませんが、途中の□で囲った×の方が午後受けてないと仮定すれば一致）

ぶつ切りにしたのが間違いかも（改行があるところがわかりにくい）と思って、横に並べてみました。

画像を3つに分けています。それぞれ受験番号の1～100,101～200,201～300です。上の黒い点が受験番号50の刻みを表しています。
上の段が数理統計、下の段が統計応用です。

黄色が合格者で、そのうちオレンジが同じ人なんじゃないかなというところです。
下の丸数字は数理統計の受験番号ー応用数理の受験番号（Dとします）です。
一応、ルールをつけて色付けしており、

• 自分の受験番号はオレンジに塗る
• 模様が特徴的で、Dの値が近傍と変わらないか、±1に収まるところは同じ人とみなしオレンジ
• 最後の2マス（⓽の近くの2名）は自信ないですがオレンジにしました

適当にやりましたが、なんとなく、納得性はあるのではないでしょうか。（統計検定合格者の発言か？）

これで表を作ると（受験者数を280として）

計算するまでもないですが、強い相関関係がみられますね。

以下はご参考です。

x <- matrix(c(221,15,20,24),ncol=2,byrow=T)
colnames(x) <- c("応用不合格","応用合格")
rownames(x) <- c("数理不合格","数理合格")
x

応用不合格 応用合格
数理不合格 221 15
数理合格 20 24

chisq.test(x)

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: x
X-squared = 67.873, df = 1, p-value < 2.2e-16

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WordPressで数式を表示しよう

このブログのように、理系ネタが多いブログでは数式の表示が必須です。
今回はWordPressで数式を表現する方法、とりわけMathJaxについて紹介します。

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数式の表現の方法とメリット・デメリット

数式の表現の方法としては、

1. がんばって文字で表現する
2. LaTeXで数式を作り画像を張り付ける
3. LaTeXでPDFを作りファイルをダウンロードしてもらう
4. QuickLaTeXを使ってTeX数式を画像に変換する
5. MathJaxを使ってTeX数式を変換する

などなど、いろいろあります。

①については、論外です。
例えば、2次方程式の解の公式

x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)

これ、書くほうもめんどくさいですし、見るほうもわかりにくいですよね。
数式の中身の理解に時間をとるべきで、表現の読み解きに時間を割くべきではないです。

②については、量が多いと数式の作成・貼り付けなど手間がかかります。
加筆修正する際にも、再度画像を作成する必要があるなど、管理も大変です。
うちのブログのようなほとんど数式みたいなところには向きません。

③はよくある選択だと思います。
ただ、数式を表現したいだけなのに全体をLaTeX（PDF）にするのはいかがなものでしょうか。
ページの表現はWordPressのようなCMSを使ってうまくやりたいですよね。
PDFファイルの中身はWordPressの検索にヒットしません。

また、これも加筆修正の際にTeXソースを探してきて、修正して、PDF化して、アップロードして、と手間がかかります。
これだけ手間だと、ちょっとした間違いだと放置しちゃいがちになっちゃいますよね。

④当サイトはもともとこれでした。
理由は、WordPress上で編集できて、結果をすぐに見れるからです。
またMathJaxの描画の遅さが気になって、画像化できているほうが早いだろうという目論見があったからです。

しかし、使っているうちに、

• キャッシュがないときの画像生成がめちゃくちゃ遅い
• 日本語が使えない
• 画像が荒いことがある

ここらへんの欠点が目に付くようになってしまいました。

⑤MathJaxもWordPress上で編集でき、結果をすぐに見れる利点は④と同様です。
描画の遅さも1ページに表示する数式を極力抑えることで解決できます。
日本語も使えますし、デバイスに合わせて表示するのでどのデバイスで見ても綺麗に表現できます。
今回は、MathJaxをWordPressに組み込む方法を紹介します。

同じ数式をQuickLaTeXとMathJaxで表現すると、
QuickLaTeXバージョン

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
mathjaxバージョン

どっちが綺麗か一目瞭然ですよね。

MathJaxをWordPressに導入しよう

MathJaxをWordPressに導入するためには、プラグインを使うのが王道のようですが、ずっとメンテナンスされていないようです。
ここでは、JavaScriptを使って導入する方法を紹介します。

まずは導入

MathJaxを導入するのはとても簡単です。
下記コードを数式を使う前に記載するだけです。

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML" type="text/javascript">    
    MathJax.Hub.Config({
        HTML: ["input/TeX","output/HTML-CSS"],
        TeX: {
               Macros: {
                        bm: ["\\boldsymbol{#1}", 1]},
               extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js","color.js"],
               equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } },
        extensions: ["tex2jax.js"],
        jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"],
        tex2jax: { inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
                   displayMath: [ ['$$','$$']], 
                   processEscapes: true },
        "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"],
                      linebreaks: { automatic: true } }
    });
</script>

途中に改行など入れてしまうと自動的にWordPressに整形され意図通りにならないことがありますので、注意ください。
上記を書いたあとに、記事中にTeX形式で次のように書くと該当部分が数式化されます。
（事情によりアスタリスクを全角で書いています。実際は半角で記載ください。）

二次方程式$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$の解の公式は、
\begin{align＊}
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align＊}

簡単ですね。

コードスニペット(ショートコード)化

毎回、上記のようにスクリプトを張り付けるのは大変です。
スニペット化しましょう。
私はCode Snippetsというプラグインを使っています。
導入の仕方は他の記事に譲って、MathJaxを使うためのスニペットについて解説します。

①WordPressの管理画面からSnippets→「Add New」を選択します。

②Add New Snippetのページが表示されます。

Titleの部分は好きに書いてください「例：MathJax利用コードスニペット」
Codeの部分に次のように書いてください。

function MathJax_code(){
return <<<EOD
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML" type="text/javascript">    
    MathJax.Hub.Config({
        HTML: ["input/TeX","output/HTML-CSS"],
        TeX: {
               Macros: {
                        bm: ["\\\\boldsymbol{#1}", 1]},
               extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js","color.js"],
               equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } },
        extensions: ["tex2jax.js"],
        jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"],
        tex2jax: { inlineMath: [ ['$','$'], ["\\\\(","\\\\)"] ],
                   displayMath: [ ['$$','$$']], 
                   processEscapes: true },
        "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"],
                      linebreaks: { automatic: true } }
    });
</script>

EOD;
}
add_shortcode('usemath','MathJax_code');

③「Save Changes and Activate」ボタンを押して登録してください。

④数式を使いたい記事で、次のように[usemath]を記載してから先ほどと同様にTeX形式を使うことができます。

[usemath]
二次方程式$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$の解の公式は、
\begin{align＊}
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align＊}

スマホ対応(横スクロール対応)する

これで気持ちよく数式を書く環境が整ったと思います。
しかし、スマホから数式入りのページを見るとどうでしょう。
長い数式がはみ出てかっこ悪いですね。

そこで、長い数式を横スクロールできるようにしましょう。

手作業

長い数式を

<div style="overflow-x: auto;">長い数式</div>

のように、overflow-x:auto;スタイルを付けたdivで囲むことで簡単に横スクロール対応できます。
はみ出すほど長くない場合は、このスタイルは無視されます。

しかし、全てをこのように囲むのは大変です。
はみ出すやつのみ囲もうと思っても、たまたま自分のスマホでははみ出さなかったら、対応漏れしそうですね。
そこで自動化を考えます。

自動化

先ほどのスニペットをこのように書き換えます。

function MathJax_code(){
return <<<EOD
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML" type="text/javascript">    
    MathJax.Hub.Config({
        HTML: ["input/TeX","output/HTML-CSS"],
        TeX: {
               Macros: {
                        bm: ["\\\\boldsymbol{#1}", 1]},
               extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js","color.js"],
               equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } },
        extensions: ["tex2jax.js"],
        jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"],
        tex2jax: { inlineMath: [ ['$','$'], ["\\\\(","\\\\)"] ],
                   displayMath: [ ['$$','$$']], 
                   processEscapes: true },
        "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"],
                      linebreaks: { automatic: true } }
    });
</script>

EOD;
}
function change_math_into_div($text){
    $replace = array(
        //'変更前' => '変更後',
        '
\begin{align}' => '<div style="overflow-x: auto;">
\begin{align}',
        '\end{align}
' => '\end{align}
</div>',
        '
\begin{align*}' => '<div style="overflow-x: auto;">
\begin{align*}',
        '\end{align*}
' => '\end{align*}
</div>',  

    );
    $text = str_replace(array_keys($replace), $replace, $text);
    return $text;
}
add_filter('the_content', 'change_math_into_div');
add_shortcode('usemath','MathJax_code');

これは、簡単に言うと記事本文中の文字列を置き換えてくれるというものです。
横に長くなる数式は￥begin{align}￥end{align}で囲むようにすれば、対応忘れなく横スクロール可能になります。

まとめ

以上、WordPressで数式を表現する方法でした。
参考にしていただければ幸いです。

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イントロ

統計検定（1級）でもたまに知識が必要な有名不等式をまとめます。
今回は、シュワルツの不等式について紹介します。

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いろいろなシュワルツの不等式

シュワルツの不等式はいろいろな形であらわれます。
ここでは4つの形を紹介します。

シュワルツの不等式(2数列バージョン)

2数列に関するシュワルツの不等式を紹介します。一番ポピュラーなものです。

コーシー・シュワルツの不等式とも言ったりします。

証明

$t$を実変数、$1 \le i \le n$とすると、

等号成立は全ての$i$で\eqref{ineq-a}が等号成立すること。すなわち、

シュワルツの不等式(1数列バージョン)

1数列に関するシュワルツの不等式を紹介します。統計検定では、統計量の分散などの大小を比較するのに使うことがあります（2016年1級 統計数理 問3）

証明

2変数の場合の不等式に$b_1 = b_2 = \cdots = b_n = 1$を代入すれば直ちに求まります。

シュワルツの不等式(積分バージョン)

積分に関するシュワルツの不等式を紹介します。

証明

実変数$t$とすると、

シュワルツの不等式(期待値バージョン)

2つの確率変数の期待値に関する不等式です。

これはヘルダーの不等式の特別な場合です。

証明

2数列バージョンの証明に似ています。
$t$を実変数とすると、

シュワルツの不等式(分散・共分散バージョン)

2つの確率変数の分散・共分散に関する不等式です。

これは、相関係数の絶対値が1以下であることを示すのに使います。実際左辺を右辺(>0)で割れば相関係数の二乗が1以下であることが直ちにわかります。

証明

$\mu_X = E(X) , \mu_Y= E(Y)$とする。
$V=X-\mu_X , W=Y-\mu_Y$とおき、シュワルツの不等式(期待値バージョン)を使うと、

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統計検定1級を受けてきました

受験会場は東京大学本郷キャンパス法文1号館。
丸ノ内線本郷三丁目駅から歩いて約10分ほどかかりました。

1級は受験者少ないかなと思ったら意外と多く、私がいた教室は100人以上は余裕でいました。
人数が多いせいか試験監督は解答用紙・マークシート・問題用紙の配布から、電卓の確認、受験票の回収など大忙しでしたね。
お疲れ様です。

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マークシート・解答用紙・問題用紙

さて、試験ですが問題用紙の表紙と裏表紙はこんな感じです。

問題用紙の裏にある通り、解答用紙の表紙に自分が解答した問題に〇をつけるようになっています。
また、解答用紙の表紙に受験番号、また解答ページに受験番号と解いた問題番号を書く必要があります。

マークシートはアンケート用でした。
WEB合格発表の希望や最終学歴などを聞かれました。

問題はA4の紙の見開きで左側ページに問題分、右側ページは計算用紙になっています。
ただ、問題文が長い場合は右側も問題ページとなっており、計算は余白で行うか別のページで行う必要があります。
（計算用紙使わずにいきなり解答用紙に書いてもいいのですが、、、）
なお、付表は問題用紙の最後にまとめて記載されています。これは公式問題集と同じ形式でした。

解答用紙はA4の紙の見開きで、各ページの両端は採点用の欄になっていますので、解答は内側を使うことになります。
私が通っていた大学の入試の記述問題や大学の定期試験の解答用紙は完全に真っ白の解答用紙でしたが、統計検定では横罫線が入っています。感覚的にはA罫ぐらいでしょうか。
この横罫線が濃く・太くて解答しづらいったらありゃしないです。
分数など、分母分子を二行に分けて書いていると横線が罫線と被ってしまい、見にくくなったりして、ただでさえ記述量が多いのにいらっとします。
正直、真っ白なほうが受験生も採点者もWIN-WINだと思うのですが、罫線入れる理由って何かあるのでしょうか。

で、肝心の試験ですが、

午前：統計数理

パラパラと問題を眺めて、まずは問1を解くことにしました。
計算ミスすると手戻りが多そうだったので、計算用紙に下書きしてから解答用紙に必要部分を書き写すことにしました。
問1は正規分布の標準偏差の期待値をχ二乗分布を用いて導出する問題でした。(1)～(3)を順調に解いて、(4)は時間がかかりそうだったのでおあずけ。
いったん問2にいくことに。
問2は具体的に計算してみて式の形は見えたものの、論述がめんどくさそうなので捨てて、やっぱり問3に変更しました。
問3は二項分布の条件付き確率関数や期待値、分散を求める問題です。
(1)～(4)までは順調に解いて、(5)は「ん？計算法を示せ？」となって計算をせずに計算法だけ示しました。
（尤度関数を最大化する$\theta$を求めればよい、具体的には対数尤度関数を$\theta$で微分して0と置き、増減表を書いて最大値を取る$\theta$を求める　ぐらいの記述）
でも、もしかしたら2016年統計応用（理工学）の問4のようにある程度関係式まで求めるところまで書いて、最後の計算はしないぐらいが正解だったかなぁと今思っています。
「モーメント法に基づく推定値でもあることを示せ」の部分は計算してないなりに、根拠を書いてみましたが、計算したほうが早かったかも。。。

次に問5は一様分布の順序統計量で簡単そうだったので、(1)(2)はさくっと解きました。
(3)の前に問1の清書や(4)を少し手を付けたりするのに時間をとられ、結局時間切れで(3)は解ききれず。

午後：統計応用 理工

統計応用は選択分野ごとに教室変わるのかと思ったら、人数的にはたぶんみんな同じ部屋でしたね。
午前と同じく全問目を通してみますが、第一印象で解ききれると思う問題がなくちょっと焦る。
とりあえず、問1の半分ぐらいは行けるだろうという目論見で解き始めます。
今回は計算量は少なそうで、計算ミスの恐れもなさそうだったのでいきなり解答用紙に記入しました。

問1は(1)～(3)あたりはただの計算問題で、(4)(5)はきちんと論証しきれていないと思いつつ、次の問題へ。
問2は計算問題をサクッと解いて、あとはつまみ食い状態。
問5は計算量にはまりそうになるも、何とか解けた？気が。
2次導関数って久しぶりに求めましたが、図形的な意味があいまい（正負どっちが凸だっけ？みたいな）になっていて、不安を残しながらも最後に出てきた不等式見てまあそうだよねと思ったのでよしとします。

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まとめ

手ごたえ的には準1級の時と同じくボーダーぐらいかなと思っています。
大学受験風に書けば、午前も午後も1完2半ですが完も「完璧」という意味ではなく「怪しいところは残しつつも全問解けた」レベルなので正解次第では半に格落ち、もしかしたら$\times$に近い半でもおかしくないですね。
（準1級でA合格もらえた感じだと、相当部分点はもらえそうな印象はありますが）

感想はとにかく、記述量が多い。1日たった今日でも手首が痛いです。
ちゃんと書こうとすればするほど記述しなくてはいけなくて、例えば表に与えられてるとある数字を使いたい場合に、「Aクラスの数学選択者の標準偏差を〇〇とし、Aクラスの数学非選択者の標準偏差を××とし、・・・」と記号を定義するために記述量が増えるという悪循環。
今思えば、上記の場合は単に 「$a = 6.8,b=7.8$とする」などと書いてもよかったですが。

公式テキストの解答はかなり簡潔に書いていたり詳しく書いていたりマチマチなので安全側に倒すと詳細に書くしかないのかなあと思っています。ただ、最尤推定量を求める際に導関数の正負を調べていなかったりと厳密さにかけるなぁと思っている点はありました（2014年統計数理 問5の解答で、「試験の解答ではそこまで要求していない」と明記されていますね）
なので、詳細に書いて時間が足りなくなるぐらいなら簡潔に書ける分には書いてもいいんじゃないかと思います。

統計の難しい応用理論を勉強するよりも、地道に期待値・分散・モーメント母関数の導出や代表分布の性質などを身に着けたほうが合格に近づきそうな気がします。

私は落ちていたら来年も受けますが、とりあえず当初の目的の機械学習や人工知能の勉強に手を付けたいと思います。
以上、長くてまとまりのない文で申し訳ないですが統計検定1級の受験記でした。
結果を受けて、勉強法(成功例 or 失敗例)とか書いていきます。

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イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回は連続一様分布です。

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定義

連続一様分布は2つのパラメータ$a,b$をとり、区間$(a,b)$で確率密度関数が一定値を取るような分布です。
この連続一様分布を$U(a,b)$と書いたりします。
確率密度関数は、$X \sim U(a,b)$として、

期待値

定義通りに計算します。

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

積率母関数

定義通りに計算します。

積率母関数を使って期待値と分散を求めます。
普通にやると、不定形となり極値が求められないのでロピタルの定理を使います。
ロピタルの定理を使うと諸条件が満たされている場合に、$\displaystyle \lim_{x\to +0}f(x) = \lim_{x\to +0}g(x) = 0$の場合に、$\displaystyle \lim_{x\to +0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to +0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$となることを示せます。
詳細は省きますが、今回は諸条件が満たされていると考えることができます。

計算の見通しを良くするために、$g_n(t) = b^ne^{bt} – a^ne^{at}$と置きます。$g_n'(t) = b^{n+1}e^{bt} – a^{n+1}e^{at} = g_{n+1}(t)$であることを用いて、

となるので、$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{(b-a)^2}{12}$です。

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イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回は指数分布です。

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定義

指数分布はパラメータ$\beta$をとります。
この指数分布を$Ex(\beta)$と書いたりします。
確率密度関数は、$X \sim Ex(\beta)$として、

期待値

定義通りに計算します。

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

積率母関数

定義通りに計算します。

積率母関数を使って期待値と分散を求めると、

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イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回はガンマ分布です。

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定義

ガンマ分布は2つのパラメータ$\alpha,\beta$をとります。
このガンマ分布を$Ga(\alpha,\beta)$と書いたりします。
確率密度関数は、$X \sim Ga(\alpha,\beta)$として、

期待値

定義通りに計算します。

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

積率母関数

定義通りに計算します。

積率母関数を使って期待値と分散を求めると、

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イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回は正規分布です。

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定義

正規分布は2つのパラメータ$\mu,\sigma^2$をとります。
この正規分布を$N(\mu,\sigma^2)$と書いたりします。
確率密度関数は、$X \sim N(\mu,\sigma^2)$として、

期待値

定義通りに計算します。

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

この式を3つに分けて計算します。

最後の積分計算はガウス積分$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2)\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$を利用しました。

下記2つの式は、$E(X)$の途中に出てきた式に帰着できるので途中計算は略します。

従って、$E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$となります。

これから、

積率母関数

定義通りに計算します。

最後の変形は、下線部が$N(\mu+\sigma^2t,\sigma^2)$の全確率1に等しいことを利用しました。

積率母関数を使って期待値と分散を求めると、$M_X(0)= 1$であることと、

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