数理統計：離散一様分布の性質

jun — Sun, 28 Oct 2018 13:38:01 +0000

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回は離散一様分布です。

定義

離散一様分布は1つのパラメータ$N$をとり、N個の値それぞれが等しい確率で現れるような事象を表すのに利用されます。
この離散一様分布を$DU(N)$と書いたりします。
ここでは、確率変数が取りうる値の最小値を$1$,最大値を$N$とした離散一様分布を扱いますが、最小値$a$,最大値$a+N-1$とする場合もあります。
確率関数は、$X \sim DU(N)$として、

\begin{align}
P(X=k) = \begin{cases} \cfrac{1}{N} & (k=1,2,\cdots,N) \\
0&(\text{others})
\end{cases}
\end{align}

と表されます。

期待値

定義通りに計算します。

\begin{align}
E(X) &= \sum_{k=1}^N k \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=1}^N k \times \cfrac{1}{N}&&\\
&=\cfrac{1}{N}\cfrac{N(N+1)}{2}\\
&=\cfrac{N+1}{2}
\end{align}

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

\begin{align}
E(X^2) &= \sum_{k=1}^N k^2 \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=1}^N k^2 \times \cfrac{1}{N}&&\\
&=\cfrac{1}{N}\cfrac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
&=\cfrac{(N+1)(2N+1)}{6}
\end{align}

これから、

\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\\
&= \cfrac{(N+1)(2N+1)}{6} – \left(\cfrac{N+1}{2}\right)^2\\
&= \cfrac{N^2-1}{12}
\end{align}

積率母関数

定義通りに計算します。

\begin{align}
M_X(t) &= E\left(e^{tX}\right) \\
&= \sum_{k=1}^N e^{tk} \frac{1}{N}\\
&= \cfrac{1}{N} \sum_{k=1}^N e^{tk}
\end{align}

積率母関数を使って期待値と分散を求めると、

\begin{align}
E(X) &= M_X'(0)\\
&=\cfrac{1}{N}\sum_{k=1}^N k\cdot e^{tk} |_{t=0}\\
&=\cfrac{1}{N}\sum_{k=1}^N k\\
&=\cfrac{N+1}{2}\\
E(X^2) &= M_X”(0)\\
&=\cfrac{1}{N}\sum_{k=1}^N k^2\cdot e^{tk} |_{t=0}\\
&=\cfrac{1}{N}\sum_{k=1}^N k^2\\
&=\cfrac{(N+1)(2N+1)}{6}\\
\end{align}

となるので、$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{N^2-1}{12}$となります。

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