数理統計:連続一様分布の性質

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回は連続一様分布です。


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定義

連続一様分布は2つのパラメータ$a,b$をとり、区間$(a,b)$で確率密度関数が一定値を取るような分布です。
この連続一様分布を$U(a,b)$と書いたりします。
確率密度関数は、$X \sim U(a,b)$として、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \cfrac{1}{b-a} & (a < x < b) \lnl 0&(\text{その他}) \end{cases} \end{align}
と表されます。

期待値

定義通りに計算します。

\begin{align}
E(X) &= \int_a^b x\cdot \cfrac{1}{b-a} \delt x\lnl
&=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{2}x^2\right]_a^b\lnl
&=\frac{a+b}{2}
\end{align}

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

\begin{align}
E(X^2) &= \int_a^b x^2\cdot \cfrac{1}{b-a} \delt x\lnl
&=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_a^b\lnl
&=\frac{a^2+b^2+ab}{3}
\end{align}

これから、
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\lnl
&= \cfrac{a^2+b^2+ab}{3} – \left(\cfrac{a+b}{2}\right)^2\lnl
&= \cfrac{(b-a)^2}{12}
\end{align}

積率母関数

定義通りに計算します。

\begin{align}
M_X(t) &= E\left(e^{tX}\right) \lnl
&= \int_a^b e^{tx}\cdot \cfrac{1}{b-a} \delt x\lnl
&=\cfrac{1}{b-a}\left[\frac{e^{tx}}{t}\right]_a^b\lnl
&=\cfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}
\end{align}

積率母関数を使って期待値と分散を求めます。
普通にやると、不定形となり極値が求められないのでロピタルの定理を使います。
ロピタルの定理を使うと諸条件が満たされている場合に、$\displaystyle \lim_{x\to +0}f(x) = \lim_{x\to +0}g(x) = 0$の場合に、$\displaystyle \lim_{x\to +0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to +0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$となることを示せます。
詳細は省きますが、今回は諸条件が満たされていると考えることができます。

計算の見通しを良くするために、$g_n(t) = b^ne^{bt} – a^ne^{at}$と置きます。$g_n'(t) = b^{n+1}e^{bt} – a^{n+1}e^{at} = g_{n+1}(t)$であることを用いて、

\begin{align}
E(X) &=M_X'(0) \\
&=\left. \left(\cfrac{g_0(t)}{t(b-a)}\right)’ \right|_{t=0}\lnl
&= \left. \cfrac{g_{1}(t)\cdot t(b-a) – g_0(t)\cdot (b-a)}{t^2(b-a)^2} \right|_{t=0}\lnl
&= \left. \cfrac{g_{1}(t)}{t(b-a)} – \frac{g_0(t)}{t^2(b-a)} \right|_{t=0}\lnl
&=\lim_{t\to +0}\left(\cfrac{g_{1}(t)}{t(b-a)} – \frac{g_0(t)}{t^2(b-a)}\right)\lnl
&=\lim_{t\to +0}\left(\cfrac{g_{2}(t)}{b-a} – \frac{g_1(t)}{2t(b-a)}\right)\lnl
&=\lim_{t\to +0}\left(\cfrac{g_{2}(t)}{b-a} – \frac{g_2(t)}{2(b-a)}\right)\lnl
&=\cfrac{b^2-a^2}{b-a} – \cfrac{b^2-a^2}{2(b-a)}\lnl
&=\frac{a+b}{2}\Lnl
E(X^2) &= M_X”(0)\lnl
&= \left. \cfrac{g_2(t)}{t(b-a)} – 2\cdot \cfrac{g_1(t)}{t^2(b-a)} + 2\cdot \cfrac{g_0(t)}{t^3(b-a)} \right|_{t=0}\lnl
&=\lim_{t\to +0}\left( \cfrac{g_2(t)}{t(b-a)} – 2\cdot \cfrac{g_1(t)}{t^2(b-a)} + 2\cdot \cfrac{g_0(t)}{t^3(b-a)} \right)\lnl
&=\lim_{t\to +0}\left( \cfrac{g_3(t)}{b-a} – 2\cdot \cfrac{g_2(t)}{2t(b-a)} + 2\cdot \cfrac{g_1(t)}{3t^2(b-a)} \right)\lnl
&=\lim_{t\to +0}\left( \cfrac{g_3(t)}{b-a} – 2\cdot \cfrac{g_3(t)}{2(b-a)} + 2\cdot \cfrac{g_2(t)}{6t(b-a)} \right)\lnl
&=\lim_{t\to +0}\left( \cfrac{g_3(t)}{b-a} – 2\cdot \cfrac{g_3(t)}{2(b-a)} + 2\cdot \cfrac{g_3(t)}{6(b-a)} \right)\lnl
&=\cfrac{b^3-a^3}{b-a}\left(1 – 1 + \frac{1}{3}\right)\lnl
&=\frac{b^2+a^2+ab}{3}
\end{align}

となるので、$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{(b-a)^2}{12}$です。