数理統計:指数分布の性質

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回は指数分布です。


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定義

指数分布はパラメータ$\beta$をとります。
この指数分布を$Ex(\beta)$と書いたりします。
確率密度関数は、$X \sim Ex(\beta)$として、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases}\beta e^{-\beta x}& x >0\\
0&x \le 0
\end{cases}
\end{align}

と表されます。
形からわかるように、ガンマ分布$Ga(\alpha,\beta)$の$\alpha=1$の場合と考えることができます。

期待値

定義通りに計算します。

\begin{align}
E(X) &= \int_0^\infty x\cdot \beta e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\
&= \int_0^\infty e^{-\beta x} \mathrm{d}x – \Bigl[xe^{-\beta x}\Bigr]_0^\infty\\
&=\left[-\frac{1}{\beta}e^{-\beta x}\right]_0^\infty\\
&= \cfrac{1}{\beta}
\end{align}

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

\begin{align}
E(X^2) &= \int_0^\infty x^2 \cdot \beta e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\
&= 2 \int_0^\infty x\cdot e^{-\beta x} \mathrm{d}x – \Bigl[x^2 e^{-\beta x}\Bigr]_0^\infty\\
&= \cfrac{2}{\beta^2}
\end{align}

これから、
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\\
&= \cfrac{2}{\beta^2} – \left(\cfrac{1}{\beta}\right)^2\\
&= \frac{1}{\beta^2}
\end{align}

積率母関数

定義通りに計算します。

\begin{align}
M_X(t) &= E\left(e^{tX}\right) \\
&= \int_0^\infty e^{tX}\cdot \beta e^{-\beta x}\mathrm{d}x\\
&= \int_0^\infty \beta \exp\bigl((t-\beta)x\bigr) \mathrm{d}x\\
&=\left[\frac{\beta}{t-\beta} \exp\bigl((t-\beta)x\bigr)\right]_0^\infty\\
&= \frac{\beta}{\beta-t}
\end{align}

ただし、$\beta-t>0$の場合に限る。

積率母関数を使って期待値と分散を求めると、

\begin{align}
M_X'(t) &= \frac{\beta}{(\beta-t)^2} \\
&= M_X(t)\cdot \frac{1}{\beta-t}\\
M_X”(t) &= M_X'(t) \cdot \frac{1}{\beta-t} + M_X(t) \cdot \frac{1}{(\beta-t)^2}
\end{align}

であることと、$M_X(0) = 1$であるから、
\begin{align}
E(X) &= M_X'(0) = \cfrac{1}{\beta}\\
E\left(X^2\right) &= M_X”(0) = \cfrac{2}{\beta^2}
\end{align}

となるので、$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{1}{\beta^2}$です。