数理統計:ガンマ分布の性質

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

イントロ

代表的な分布の性質を解説します。
今回はガンマ分布です。


スポンサーリンク

定義

ガンマ分布は2つのパラメータ$\alpha,\beta$をとります。
このガンマ分布を$Ga(\alpha,\beta)$と書いたりします。
確率密度関数は、$X \sim Ga(\alpha,\beta)$として、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases}\cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}& x >0\\
0&x \le 0
\end{cases}
\end{align}

と表されます。

期待値

定義通りに計算します。

\begin{align}
E(X) &= \int_0^\infty x\cdot \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\
&= \int_0^\infty \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha}e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\
&= \cfrac{\alpha}{\beta} \underline{ \int_0^\infty \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \mathrm{d}x} – \left[\frac{\beta^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}x^\alpha e^{-\beta x}\right]_0^\infty\\
&= \cfrac{\alpha}{\beta}
\end{align}

最後の式の変形は、下線部が$Ga(\alpha,\beta)$のガンマ分布の全確率$1$となることを利用しました。

分散

$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。

\begin{align}
E\left(X^2\right) &= \int_0^\infty x^2\cdot \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\
&= \int_0^\infty \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha+1}e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\
&= \cfrac{\alpha+1}{\beta} \int_0^\infty \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha}e^{-\beta x} \mathrm{d}x – \left[\frac{\beta^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha+1} e^{-\beta x}\right]_0^\infty\\
&=\cfrac{\alpha+1}{\beta}\cdot \cfrac{\alpha}{\beta}
\end{align}

これから、
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\\
&= \cfrac{\alpha+1}{\beta}\cdot \cfrac{\alpha}{\beta} – \left(\cfrac{\alpha}{\beta}\right)^2\\
&= \frac{\alpha}{\beta^2}
\end{align}

積率母関数

定義通りに計算します。

\begin{align}
M_X(t) &= E\left(e^{tX}\right) \\
&= \int_0^\infty e^{tX}\cdot \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}\mathrm{d}x\\
&= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \underline{\int_0^\infty \cfrac{(\beta-t)^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-(\beta -t)x} \mathrm{d}x}\\
&= \left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^\alpha
\end{align}

ただし、$\beta-t>0$の場合に限る。
最後の変形は、下線部が$Ga(\alpha,\beta-t)$の全確率1となることを利用しました。

積率母関数を使って期待値と分散を求めると、

\begin{align}
M_X'(t) &= \alpha\cdot \left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^{\alpha-1}\cdot \frac{\beta}{(\beta-t)^2} \\
&= M_X(t)\cdot \frac{\alpha}{\beta-t}\\
M_X”(t) &= M_X'(t) \cdot \frac{\alpha}{\beta-t} + M_X(t) \cdot \frac{\alpha }{(\beta-t)^2}
\end{align}

であることと、$M_X(0) = 1$であるから、
\begin{align}
E(X) &= M_X'(0) = \cfrac{\alpha}{\beta}\\
E\left(X^2\right) &= M_X”(0) = \cfrac{\alpha^2}{\beta^2} + \frac{\alpha}{\beta^2}
\end{align}

となるので、$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{\alpha}{\beta^2}$です。